V. L'équation de la sphère étant

(X -«)=-+- (Y - bf-^[l - cy= R», on obtiendra les dérivées du premier ordre .

par les relations

et celles du second

f/'Z dX'

dXdY

dY'

par celles-ci, qui s'en déduisent en différenliant successivement par rapport à X et à Y,

PQ-+-S(Z-r)=o,

Or, les conditions du contact du second ordre avec une surface quelconque z =f{x, f), au point X = ;r, Y=j, sont

dz dx

jPz dx dy

d^z dy^

de sorte qu'en faisant

(h dy'

dx'

dx dy

(Pz dy''

nous les obtiendrons en remplaçant dans les relations précédentes X, Y, Z, P, Q, R, S, T par x, j, 2, /?, q, r, s, t, ce qui

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l^']

donnera

jr — b-hf/{z~c) = O,

pq -h s{z — c) = o,

Cela étant, les trois dernières conduisent immédiatenneni par réiiminaiion de c ou plutôt de 3 — c aux deux équations de condition cherchées entre x eiy, savoir

j j-jP* __ pn I -1-7' r s t

et, en chassant les dénominateurs,

{^l^p*)s- pqr = o, (n-/>*)/ — (1 + 7')r= o.

On donne le nom d'ombilics aux points de la surface 2=/(-^, ,r) que déterminent ces relations, et que bientôt nous verrons s'offrir sous un autre point de vue. Je. me bornerai en ce moment à les obtenir à l'égard de l'ellipsoïde

jr y

OÙ ils ont un rôle extrêmement important dans l'étude géométrique des courbes tracées sur celle surface. En formant à cet effet les valeurs des quantités/;, q, r, s, t, on trouve

'b'z' et, après quelques réductions, il viendra simplement

Ces relations sont identiques dans le cas où l'ellipsoïde se réduit à une sphère, comme on pouvait le prévoir; mais si les axes sont inégaux, et que l'on suppose

to.

nous parviendrons irès-aisément à ces solutions, les seules réelles, savoir

là' -h'

On en conclut que les ombilics sont les quatre points où les plans des sections circulaires deviennent tangents à la surface.

VI. Dans la seconde question, il s'agit de l'équation générale du second degré

F(X, Y, Z) = r/X^-f- «'Y^ -4- r/'Z- ^- 2iYZ + 26'ZX -+- 2//XY

H- arX -+- 2 c'y H- 2r"Z -f- r/ = o,

et des conditions du contact du troisième ordre avec la surface quelconque z=f{x,f). Alors il est nécessaire d'introduire, en outre des dérivées partielles du premier et du second ordre p, q, r, s, t, celles du troisième que je désignerai ainsi

fPz , fPz . (Pz

" d^'' dx'fiy " dxdy' ' dy

Cela étant, et sans répéter ce qui a été dit tout à l'heure à propos de la sphère, j'écrirai immédiatement ces relations

nx'-^a'f'^-i- a"z'-ï- o-byz-h -ib'zx -h ih"xy ^r-'icx-^ "i-c'y -h 2.c"z -{- d =^ o, [b'x -f- hy -H a" z -H c")p -+- ax -+- b"y -t- b' z -1- <;• = o, {b'x 4- /;/ -f- a"z -f- c") q -+- b"x -h a! y -f- ^s H- f' — o ;

puis celles-ci, qui contiennent les dérivées du second ordre, et où je fais, pour abréger,

W = r- = « .r -t- OJ' -I- (7 Z -(- C ,

savoir

2 dz

wr -\- <t" j? + 2^»^.» -+- rt = o,

à s -+- n" pq -h bp -\- b'q + //' — o,

wf -I- a"q* -+- ibq-+- a' = o.

On en tire, par la différentiation, ces quatre dernières

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l49

équations, où entrent les dérivées partielles du troisième ordre, et qui ne contiennent plus que les coefficients «", h, b', c" sous forme homogène,

M g -(- 3(0"/-» -^ b']r :-= o, w// -h [n'q H- b)r-\- i[n''p-+- b')s -■ o, tak -+- [n^p ■+-b')t-h 'i{fi'q + b) x = o,

w/-i- 3(rt''</ -f- 6)f — o.

Voici la conséquence remarquable à laquelle elles conduisent; deux d'entre elles donnent

fi-p^ b — — -Jî, a'q -hb =— - - 7

et, en substituant dans les deux autres, la quantité m disparaîtra comme facteur commun, de sorte qu'au lieu d'une seule équation de condition entre se et x, nous obtenons les deux suivantes (*)

3/irt — Ir^ — igxt - o, 3/r/ — gt^ — ulrs = o,

RTais, en même temps, les inconnues a", b, b', c", entre lesquelles on n'a plus que deux équations, et par suite tous les coefficients de F(X,Y, Z), s'exprimoroi.t en fonction linéaire et homogène de deux indéterminées X et y., de sorte

qu'on doit poser

F(X,Y, Z) = /.*-hua>,,

où $ et 0, sont des polynômes eiilièremenl déterminés. Il s'ensuit qu'en un nombre fini de points de la surface ^=/(^>j)» et non le long d'une ligne comme on l'avait d'abord présumé, nous obtenons un faisceau de surfaces, au lieu d'une surface osculatrice unique du second degré (**).

(*) Elles expriment, comme on le vérifie aisément, que le polynôme du troisième degré gk* -t- 3 A i*-+- 3 A A -^ / est exactement divisible par rX'-^ 7sX-hC.

(**) Il est remarquable qu'on trouve des lignes en appliquant cette théorie aux surfaces du Iroisièmo degré; ces lignes sont les 37 droites situées sur ces surfaces.

l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.