DE LA COURBURE

Celle ihéorie, qui se lie nalurellemenl à celle du conlacl géométrique, a une porlée beaucoup plus étendue, et nous nous bornerons ici à en donner les principes les plus simples, sans entrer dans les résultais si importants obtenus depuis Euler sur la courbure des surfaces et des lignes tracées sur la sphère ou sur une surface quelconque. Je renverrai, pour l'élude de ces belles questions, au premier volume du Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. Bertrand, et, en me limitant à un petit nombre de points fondamentaux, je considérerai successivement les courbes planes, les courbes dans l'espace et, en dernier lieu, les surfaces.

Courbes planes.

I. La courbure que l'on regarde comme une notion géométrique première et irréductible s'offre sous son aspect le plus simple en considérant le cercle; on dit en effet que, pour cette ligne, la courbure est uniforme et la même en tous ses points. Mais elle varie d'un cercle à un autre, et si l'on envisage, pour fixer les idées, les cercles tangents à une même droite en un point, on observera qu'ils tendent, dans le voisinage de leur point de contact, à se rapprocher de cette droite quand le rayon augmente; on dit alors que la courbure diminue, et c'est ce qui amène à introduire dans le calcul la notion dont il s'agit, en lui donnant pour mesure dans le cercle l'inverse du rayon, c'est-à-dire la plus simple des fonctions qui décroissent quand la variable augmente. Or on peut représenter l'inverse du rayon par l'angle de deux tangentes quelconques divisé par l'arc compris entre leurs points de contact, ce qui est une combinaison d'éléments géométriques susceptible d'être considérée à l'égard d'i:ne courbe de nature quelconque. Nous nommerons ainsi courbure moyenne

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l5l

d'un arc le quotient obtenu en divisant par la longueur de cet arc l'angle des tangentes menées à ses extrémités, et la limite de ce rapport, en supposant l'arc infiniment petit, deviendra en un point donné la courbure dont nous allons chercher l'expression au moyen des coordonnées rectangulaires ^ et j de ce point.

Soit l'équation de la courbe proposée j=/(^), s la longueur de l'arc comptée d'une origine quelconque A {fig. 10) Fig. 20. jusqu'au point M, dont les coordonnées

sont X et y, et a l'angle que fait en ce point la tangente MT avec l'axe des abscisses. En faisant croître x de sa différentielle, on passe du point M au point infiniment voisin M', l'angle cf.^=y\'ïx deviendra par suite Wï' x =^ a + dcc , l'arc AM = 5 croîtra de MM'=</5; or l'angle des deux tangentes MT etM'ï', appelé l'angle de contingence, sera évidemment M' T'^— ^Vïx = doc, et la courbure se trouvera ainsi

dx représentée par -y-» qu'il s'agit maintenant d'obtenir en fonction de X et de j. De l'équation

tang. = -,

tirons à cet effet

. dY

a. ~ arc tang -r- î

on en déduira

el, par suite, en prenant d'abord x pour variable indépendante,

rf'r , dW

da. dx^ dx^

Telle sera donc la courbure cherchée au point M; or, en

l52 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

concevant un cercle ayant son centre situé sur la normale à la courbe en ce point, et dont le rayon soit déterminé par la condition

I dx

sa courbure sera précisément celle de la courbe, et l'expression de R en o^ et en y, savoir