OT
dx'
nous montre qu'on retrouve, sous un nouveau point de vue, le cercle osculateur. En effet cette valeur a été obtenue dans la théorie du contact, où elle a été déduite des conditions
dont la seconde montre que les coordonnées du centre du cercle osculateur satisfont à l'équation de la normale
à la courbe proposée j=/(x). Nous avons aussi obtenu, page ïi5, lorsque la courbe est donnée par les équations
l'expression plus générale
Vo'ci deux formes analytiques importantes qui s'en déduisent.
II. Supposons d'abord que la variable t soit l'angle polaire w, de sorte que, p désignant le rayon vecteur fonction de cet
angle, on ail
a: = p cos'»>, J = p sino).
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l53
Nous appliquerons la formule en parlant de la relation qui donnera, en prenant les dérivées par rapport à w,
J'y changerai ensuite le signe de y — ï» ^^ manière à obtenir
et je multiplierai membre à membre avec la seconde égalité.
En formant alors de part et d'autre les coefficients de v' — ï> il viendra
et, par conséquent.
La seconde forme du rayon de courbure se rapporte au cas où les coordonnées x et j sont données en fonction de l'arc s. Elle s'obtient en introduisant la condition
dans l'expression générale, qui devient d'abord
On remarque ensuite que l'équation identique donne
l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
à cause de la condition admise et de celle-ci
qui s'en tire par la différentiation. Nous avons donc la formule
dont je vais faire une application en cherchant l'expression de la différence entre la longueur d'un arc infiniment petit et sa corde.
Je considère à cet effet les équations
dans le cas où l'origine est au point de la courbe correspondant à 5 = 0, l'axe des x étant de plus une tangente et l'axe des/ une normale, ce qui suppose
p'(.î) = i et -r- = -\>'{s) = o
ds
ds
pour s = o. Les développements par la série de Maclaurin des fonctions 9(5) et ^[s) seront donc
^ [s) = s -+■ as^ + a' s^ -t- . . . ,
et la condition c'est-à-dire
(i + ins -+- B^S-^-f-. . .y -\- {ihs -h 'ib's^-h. . .)'= 1,
donnera, comme à la page 187,
a = 0, a' — — fè*,
d'où, pour 5 = 0,
Nous pouvons ainsi poser, en désignant par R le rayon de courbure à l'origine,
il en résulte, pour la distance de cette origine à un point de
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l55
la courbe,
et, en supposant s infiniment petit, on a ce théorème :
La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est un infiniment petit du troisième ordre, à savoir le cube de l'arc divisé par 24 fois le carré de son rayon de courbure.
Observons que cette différence, lorsque ^ = 0 (ce qui est
le cas d'un point d'inflexion), ne serait plus du troisième, ni même du quatrième ordre, mais du cinquième. Plus généralement, admettons que l'axe des abscisses ait avec la courbe proposée un contact d'ordre n; il faudra, d'après îa théorie connue, que la différence entre l'ordonnée de la droite, c|ui est nulle actuellement, et celle de la courbe, c'est-à-dire précisément cette ordonnée y = ^{s), soit infiniment petite d'ordre n + i, par rapport à s. On doit donc poser
ij;(j) = /V+'-+-/V+'' + ...,
?'(.v) = [I - -n-oi^^ I - -^^^tJ]!i',-H. ..,
et, par conséquent,
2 ( 2 rt -(- I )
sans ajouter de constante , d'après la condition admise que l'origine des coordonnées correspond à la valeur 5 = 0. 11 en résulte, pour x'' -h 7', l'expression suivante
or' -h y = ïs- i^LtlL^L s'"-'' -^- . . .T^ (^•^•"'■' -+■ /v+'-t-. . .)'
•^ L a(2«-Hi) J '
%n ■+- 1 et, par suite,
i{7.fi -+- 1)
l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
de sorte que la différence entre l'arc infiniment petit et sa corde est, dans le cas actuel, un infiniment petit d'ordre 2/1 -\- I .
III. L'expression du rayon de courbure dont nous venons de faire usage peut encore se tirer directement de la relation
comme nous allons le montrer.
J'observe, à cet effet, que les coordonnées x el x étant exprimées en fonction de l'arc par les formules
on aura
cos^ = ^ =9 {s),
et ces équations, différenliées par rapport à s, donneront
dx
— ^^^^^ TÛ- = '/'('O, COSa -f- = •}"(.0,
OU bien
lis) R
Or, en élevant au carré et ajoutant membre à membre, on obtient sur-le-champ
J'y joindrai celle-ci, dont il sera fait usage plus tard, savoir
J3 = vy- w-
Elle se démontre en observant que l'on a par la différentiation
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l57
Ajoutant ensuite ces relations membre à membre, après avoir multiplié la première par — ^", la seconde par <p*, et employant la condition
il vient en effet
Remarquons enfin que les équations
déterminent les fonctions o et 4', c'est-à-dire les coordonnées de la courbe, lorsque le rayon de courbure est donné en fonction de l'arc 5. On en tire, en effet,
ou bien
Or, le premier membre étant la dérivée de log(9'+ \/—i 4»'), on connaîtra cette quantité si l'on sait former la fonction primitive de r^- Supposons, par exemple, que R soit constant, nous aurons immédiatement
C désignant une constante arbitraire qui peut être imaginaire,
et qi
dut
]osW^sf~i-y) = ^ + c,
et que nous représenterons par \oga-\-\J — i rr« On en con-
ç'-H y/— ii{''= ne ^ ,
et par conséquent
ç = fl cos — 5 — ) Y== asm
l58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
La condition 9'=^+ ^'"=1 donne d'ailleurs n^ = i, d'où a = \, log« étant supposé réel; quant aux fonctions primitives de
cos
-^ets.n--^-
elles sont évidemment
R sin
R cos
de sorte que l'on obtient définitivement, avec deux nouvelles constantes arbitraires,
R sin
jr = — R COS— p— + r„ ce qui donne l'équation du cercle
Le cercle est donc la seule courbe dont le rayon de courbure soit constant.
IV. A la théorie de la courbure se rattache l'élude du lieu des centres de courbure aux divers points d'une ligne donnée y=:f[x), qui a reçu le nom de développée de cette courbe. Cette étude repose en entier sur les équations
qui déterminent en fonction de l'abscisse x les coordonnées a et (3 du centre de courbure, et d'où l'on tirerait, par l'élimination de cette variable, l'équation de la développée. La première propriété que nous en déduirons consiste en ce que la tangente à la développée est normale à la courbe proposée.
A cet effet, je considère a et (3, en vertu des deux relations ci-dessus, comme des fonctions de la variable indépendantes-,
el j'indique la première, pour abréger, par
En différenliant par rapport à x, on aura
dx dy dx d± ilx dp dx
Or la somme des deux premiers termes, étant précisément la dérivée dans l'hypothèse de a et [3 constants, est nulle à cause de la seconde relation. En les supprimant, on obtient, pour
la détermination du rapport -j-y
dF ^ ^ ^a "^ dp dx ~" °' ou bien
^fJP dx dtx.~ '
d'où résulte, comme on voit, la proposition annoncée.
La seconde propriété concerne la rectification de la développée. Ce qui s'offrirait alors naturellement serait d'exprimer en fonction de x les différentielles dx et d^, en partant des valeurs
dy \dx I „ \dx )
~ . dx (ny ' ^ '' cPy '
dx' dx'
afin d'en déduire la différentielle de l'arc \/dx' -t- rf(3'. Mais on opère différemment; on introduit le rayon du cercle oscuiateur en tirant dx et </(3 de l'équation
diff'érenliée par rapport à ;r, et de la relation précédente
dr dâ , , dy x — a . ,
I + -/- -7^ = o, qui, en remplaçant -j- par -x-i devient
[y-p)d7.-{x-x)dp = o.
En effet si l'on supprime, dans la différentielle de l'équation du cercle, les termes qui se détruisent comme prove-
l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
nant de la variation de ^ et j seuls, les autres quantités se, p, R étant supposées constantes, il restera simplement
{x — a) fl'x -+- ( j- ^) ^/^ = R (IR,
et l'on tirera des deux relations en dx et d^ ces expressions très-simples
et, par conséquent.
dp' = dW.
On pourrait même opérer plus rapidement, en élevant au carré et ajoutant membre à membre les deux relations
[y—p)d<x-{x—y.)dp = o, (a; - a) r/a -+- (j - ^ ) = - R r/R.
Nommant donc c7 l'arc de la développée compté à partir d'une origine fixe, on aura
dn = ± JR.
Cela étant, supposons que, o- croissant à partir de cette origine jusqu'à une certaine limite, R varie toujours dans le même sens, et augmente par exemple, on devra prendre
d'où
de = fi?R, cr== R + C.
Soient donc (7„ et Ro deux valeurs simultanées quelconques de
ces quantités, on aura
a„ =. R, + C, et, par conséquent,
Mais si, dans une autre portion de la courbe, R, variant dans un autre sens, va, au contraire, en diminuant, on devra prendre
et l'on trouvera
df7 = - r/R,
cr - (7„ = R„ - R.
Ainsi la longueur d'un arc de développée, lorsqu'on suppose le rayon du cercle osculateur variant dans le même sens
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l6l
d'une de ses extrémités à l'autre, est égale à la différence des rayons qui correspondent à ces extrémités.
Cet énoncé se modifie dans le cas, par exemple, où le rayon passe par un maximum p; soient alors R« et R, les valeurs extrêmes, l'arc de développée, se décomposant en deux parties représentées par p — R^ et p — R,, aura pour expression
Enfin, s'il s'agit d'une courbe fermée n'ayant aucun point d'inflexion, et dont la développée soit finie (*) et fermée, son périmètre total sera le double de la différence entre la somme des rayons de courbure maxima et la somme des rayons nnnima, pour tous les points de la courbe proposée.
La relation da^=dR^ peut aussi s'obtenir comme conséguence des égalités
données p. 1 16. On en tire en effet
dx
