II

:^^'yR'yR,

dp

ds

= ip'-H ^/'R'h- ^-''R,

et plus simplement

doL

ds~

à cause des relations

établies p. i56; or on voit que la somme des carrés donne

immédiatement

d'jr -h ,/^' = r/R^

La géométrie enfin conduit facilement, comme il suit, au même résultat.

(*) Le rayon du cercle osculateur devient iniini en un point d'inflexion, parce que 1 on a dans ce cas : -j— j- = o.

l'* Partie. 1 1

l62 CALCUL VIFFtKElfTIEL.

Considérons, en effet, deux tangentes infiniment voisines MT, M' T {fig. 2 1 ) à la courbe^ =/( ^ ), et soient M et M' les points de contact, MN et M'N les normales dont l'intersection en N détermine un point de la développée. L'bypoténuse NT, commune aux triangles rectangles NMT, NM'T, est, aux infiniment petits près du second ordre, égale aux côtés NM et NM'; car les angles en N sont infiniment petits. Donc ces lignes ne diffèrent ellesmêmes que d'un infiniment petit du second ordre; par conséquent, en passant de M à M', l'accroissement de 5IN = R sera précisément la distance du point N de la développée au point infiniment voisin N% distance qui est l'élément ^; on a donc bien ds = dK, quand R augmente avec <x.

y. Nous ferons une première application des résultats qui

précèdent en considérant l'ellipse suffit de rappeler qu'en posant