I . A cet effet, il

on a obtenu, dans la théorie du contact, p. 1 15, pour les coordonnées du centre du cercle osculateur, les expressions

sm'/.

« = cor^ ? = —

Elles donnent immédiatement, en éliminant /, l'équation de la développée sous la forme

Soit en second lieu la cycloTde, qui est le lieu des positions d'un cercle roulant sans glisser sur une droite. Prenons cette droite pour axe des abscisses, pour origine te point 0 {fig.ii)f où se trouvait, au commencement du mouvement, le point générateur du cercle mobile, que je considère

fïg.23.

APPLICATIONS GtoatniQl'BS. l63

ensuite dans une posilion quelconque en M, de sorte que les coordonnées d'un point du lieu soient MP et OP. La distance de l'origine au point de contact Q sera égale à Tare IIQ par dérinition, et, en désignant l'angle MRQ par f, par a le rayon du cercle, nous aurons

Cela posé, si l'on mène MN parallèlement à PQ, on obtiendra

évidemment

MN = PQ = a sinr, RN = « oos^

d'où résulte

.r = 00 - PO = «(< - sioi) = t(0, V = RQ — RX = « (i — cos«) = +(f ),

Ces expressions de x et r, au moyen de Tangle #, permettent de discuter la courbe qu'on reconnaît facilement se com> poser d'une suite d'arcs identiques à celui qui est donné par les valeurs de t comprises de xéro à ir. Elles conduisent aussi à une détermination facile des coordonnées du centre de courbure. Appliquons à cet effet les formules établies p. ii5, savoir

En remarquant qu'on tire des expressions des coordonnées

les valeurs

f'=a(i — cosf), j»* = «sin/,

d'où

on en conclura sur-le-champ

« = M(f -t-sinO« P = «( — I -+-C08/V

Je dis maintenant que ces relations représentent la même cydoîde rapportée à d'autres axes. Changeant d'abord t en / +::, ce qui n'altère point la nature de la courbe, il vient

s = airH-«(( — Stnfl, p =— «(IH-C08«K

et si nous posons ensuite

l64 CALCUL DIFFÉRENTIEL»

on trouvera, par rapport aux nouveaux axes,

.V =:: a{t — smt), j = ri{i — cost),

c'esl-à-dire précisément les équations de la cycloïde proposée. On a donc ce théorème :

La développée de la cycloïde s'obtient en construisant une cfcloïde égale, par rapport à des axes coordonnés parallèles et dirigés dans le même sens, dont l'origine est le point

X = an, (3 = — 2«.

VI. J'ajouterai encore quelques remarques sur les rayons de courbure de ces deux lignes. En rapprochant d'abord la formule relative à l'ellipse

R = — («^ sin'? + /;' cos'^)' ab ^

de l'expression de la normale, savoir

^-A-mh\

\dt) J

[a^Sivrl^ b^cos^t)\

on obtient la relation remarquable

où je fais, suivant l'usage,

D'autre part, introduisons, à la place de t, l'angle 0 déterminé par la formule

tango = j'ixnt, nous aurons ces expressions plus simples

cos9 cos'ô

En joignant au foyer le point de l'ellipse dont les coordon-

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l65

liées sont x=:acostf y = bs\nt, et considérant la normale

au même point, 6 est précisément l'angle de ces deux droites;

. . . , .. bs'int . car le coefficient angulaire de la première est ^ > le

° * rtCOS^ — c

coefficient angulaire de la normale a pour valeur

dr __ fisint df ~ bcost^ et de là résulte bien

bsint asint

. acost — c bcost ac — c*cost c . ^,

tanc9 — j—.— i = sin/ -7 7 : = TSln^

^ nbsin't ab— bccost b

[acx)it — c)bcoit A l'égard de la cycloYde, l'expression de la normale

<;onduit à ce résultat très-simple

sin-

Si l'on calcule ensuite le rayon de courbure

d'après les valeurs précédemment trouvées pour a et (3, qui

donnent

.*• — a ~ — laBxnt,

j— ^ ^ 2«(l — COS/)?

on obtient

t R - 4«sin-)

d'où, par conséquent,

R = ïN.

Nous remarquerons enfin l'expression de la sous-normale

^., dr , , sin^ . ^

SN = y-T- -~ « (i — cos/) = (I sinr.

-' dx * ' I — cosf

Ayant

.r = n{t — sinf),

l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

on peut récrire de celle manière

SN ^at — x,

el la figure qui a servi à trouver l'équaiion de la courbe

monlre que