SN = OQ - OP = PQ
de sorle que la normale à la cycloïde s'oblient en joignant le point décrivant du cercle mobile à son point de contact sur l'axe.
Pour dernière application, soit
X = a[cost ■+- tsmt), y = «(sin; — tcoit], ce qui donnera
(p = «fcosf + fsin^), -h — a{%mt — tco^t),
(f' = atcost, -y — aisint^
^"= «(cos^ — ïsin^), ■^"= a{sint -+- tcost),
et, par conséquent,
nous en conclurons
a = rtcos/, p = asmi, d'où
La courbe proposée a donc pour développée une circonférence de cercle; elle joue un rôle important dans la mécanique, et reçoit le nom de développante du cercle.^
Courbes dans l'espace.
I. On nomme encore angle de contingence en un point d'une courbe dans l'espace l'angle w que font entre elles les deux tangentes menées aux extrémités d'un arc infiniment
petit 6?5, elcourbure la limite du rapport -t-* L'inverse de cette
quantité — représentera, en suivant la même analogie, le rayon de courbure; nous allons en calculer l'expression.
Supposons toujours que la courbe proposée soil donnée par les relations
la variable t étant quelconque. Les cosinus des angles que fait avec les axes coordonnés la tangente au point {x, )^, z) sont,
comme on sait,
dx , dy dz
ds ds ds
Or, en faisant croître de sa différentielle la variable /, on passe du point considéré de la courbe au point infiniment voisin, et les cosinus des angles de la tangente avec les axes en ce môme point sont évidemment
a' = a ■+- dn, b' = b -\- db, c' — c -¥■ de.
L'angle de contingence, qui a été nommé w, sera donc déterminé par la formule
cosw = aa! -^ bb' ■+- cc\
OU plutôt par celle-ci qu'il est préférable d'employer
\ sinw = \\^cb' — bc'Y -^ (ac'— ca') -+- [bn' — ab'YY
= [{cdb — bdcy -+- [adc - cdaf -^ [bda — adbfY ;
et comme le sinus est égal à l'arc aux infiniment petits près du troisième ordre, nous aurons
w = [{cdb - bdcy + [adc — cdaY+{bda — adby]\
Or, en différentiant a et 6 par rapport à t, on obtient ces
valeurs
, d^xds — dxd^s „ d^yds — dyd's da^- ^, , db= ^ ^^J ,
cl nous en conclurons, après une réduction facile,
bdn - adb - dyd^x-dxdy W<f« - ^'f)dt , nous aurons de nrjême
une- ^, ^n^^n^^n '
/ ^ dxd^z-dzd^x (y'Q"— Q'(p")rf<^
ds^ <p'> -H ^'^ -H Ô'' '
el, par conséquent,
ds
C'est le résultat qu'on s'était proposé d'obtenir, et qui coïncide, comme dans le cas des courbes planes, avec le rayon du cercle osculateur tel que nous l'avons obtenu, p. 124, dans la théorie du contact en fonction de la variable t. Il devient plus simple, si nous supposons que t soit l'arc s de la courbe, de sorte qu'on ait les relations
En employant en effet l'identité dont nous avons déjà fait usage
(ô'-^"- •yô")^-+- ('/ô"- 0'a,")-''H- (f <p" ^'.yy
= (^'^4- -f '-^ fr-)[^"^ -+- .^"2 H- 9"2) (^y^ .y-y^ G'0")S
on trouvera
Cette formule nous donne une conséquence importante, en employant les expressions des coordonnées établies page 187,
j- = Bi^+BV4-
l'origine étant un point de la courbe qui correspond 35 = 0, le plan des xy étant le plan osculateur, les axes des x et des y la tangente et la normale. Effectivement, on obtient immédiatement, pour s =0,
de sorte qu'à l'origine, le rayon de courbure dans l'espace n'est autre que celui de sa projection sur le plan osculateur. Enfin, nous aurons, aux infiniment petits près d'un ordre su-
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l6g
périeur au troisième,
V^a?*-f-.r*-»-z' = v/j:' -t-r" =•>■ — ¥ BV-I-. . . = .V — — ^ -H . . . , comme pour les courbes planes.
II. L'angle de torsion en un point d'une courbe dans l'espace est l'angle e que font entre eux deux plans osculateurs menés aux ovlrémités d'un arc infiniment petit </«; la limite
ds du rapport — — r est le rayon de torsion, que nous allons
encore calculer en supposant la courbe définie par les relations
Partant à cet effet de l'équation du plan osculateur
. A(X-.}.)-HB(Y--^)-f-C(Z-0).= o, OÙ je fais comme précédemment
je conçois que la variable indépendante t croisse de sa différentielle. Nous passerons ainsi du point (.r, j, z) au point infiniment voisin; l'arc s de la courbe, compté depuis une certaine origine jusqu'à ce point, croîtra de ds; les coefficients du plan osculateur deviendront
X'^X-hdA, B'-^B+r/B, C'=C-i-r/C,
où les différentielles sont prises par rapport à t, et l'angle infiniment petit nommé e sera donné par la formule
AA'-HBB'-hCC
COSê = --=r:
Mais, comme à l'occasion de l'angle de contingence, je ferai usage de celle-ci
RAB'- BA')'+(BC'- CB')'-4- (CA'- AC')'r \/A' -4- B' -H C^ /A" -H B" -t- C"
170 CALCUL BIPVtBEIITIJIL.
et il Tiendra, en substituant l'arc inGnîment petit au sinus, dÎTisant par ds^ et remplaçant au dénominateur A', B', C par A, B, Cy comme on peut le faire,
^2 [ A</B — BrfA?^(BrfC — CrfBf-i-(CrfA— ArfC)»]^
Cela posé, nommons A le déterminant du système
et employons ces identités connues par la théorie des déterminants, et qui se vérifient d'ailleurs immédiatement, savoir
AdB — BdlL = \Vdt,
Cdk — XdC=A^'tà, on en conclura immédiatement
r~ (A»-i-B'-HC)a:j ~A--^B'
Cesl le résultat cherché, et qui donne en fonction de la variable / le rayon de torsion. En le rapprochant du rayon de couii)ure, savoir
nous en tirerons la relation
RV
Ki'^^'^-^v^f
Prenant donc, pour la variable / laissée quelconque jusqu'ici, l'arc de la courbe, de sorte que
R'r sera le déterminant du système
?'{*) yK*^ »'(') !
APPUCATIOHS GtOlÉTMQUCS. 171
déjà considéré à propos de la sphère osculatrice, et qu'il convienl de transformer de la manière suivante.
