III. Posons pour un instant

G = 7" -H -f» -H ©^, H = <?"-+- y^-h vr,

on sait que le déterminant symétrique par rapport à la diagonale

H' G' H =GG'G'-j-aHH'H'-GH»-G'H'»— G'H"

sera précisément le carré de A. Or on a d'abord

^'»-i.i'>-HO'^=G = i, d'où, en différentiant par rapport à s.

En second lieu

v«-Ky»-K6«=G'=i5,

et, en différentiant de nouveau, on obtient

fj'-+- ^'4,- H- ©•o-= H = - 1-' - Enfin l'équation

donne

et il en résulte

T'T'+fr+»'«"=H'=-^.

De là suit la relation que nous voulions obtenir, savoir

RV» R' R* R«*

et qui a d'importantes conséquences.

La première, c'est que le rayon de torsion se trouve

exprimé au moyen du rayon de courbure et de la somme

[)ar la formule

Nous en conclurons que les coordonnées d'une courbe quelconque dans l'espace étant, en l'onction de l'arc,

on a les trois équations

RV^

qui déterminent ces coordonnées lorsqu'on donne R et r, ainsi qu'on le verra dans le calcul intégral. J'y joindrai celles-ci, qui s'en tirent par des difîérentialions, savoir

y'',p>v^,|,^|^IV^Q«Q,v^ '

La seconde conséquence concerne le rayon de la sphère osculatrice à cette courbe. En le désignant par p, nous avons obtenu, page i35, l'expression

Or, il suffira d'y remplacer A par yt"* ^^ '*^^ quanlités Q,"'î-I.q;«"i+ 0"'2, ©y-f- ^'^'"-\. 0'&" par les valeurs qui viennent d'être obtenues, pour en conclure cette relation simple et remarquable, savoir

IV. Les expressions du rayon de courbure et du rayon de torsion nous serviront encore à démontrer les théorèmes suivants, qui sont dus à M. Bonnet :

La distance d'une des extrémités d'un arc infiniment petit au plan osculateur correspondant à l'autre extrémité a pour valeur le cube de cet arc divisé par six fois le produit de ses rayans de courbure et de torsion.

La plus courte distance des tangentes aux extrémités d'un arc infiniment petit est égale au cube de l'arc divisé par douze fois le même produit.

Effectivement, l'équation du plan osculateur en un point de la courbe

.r^^(.v), r--M^-), 2-0(.v) étant

la distance à ce plan du point correspondant à l'arc s + h sera en valeur absolue

U ^ A[y(.v + /0-y(.v)] + B[-M.sw-//)-^(.v)] + C[Q(-v + A)-&(.v)]

Or, en développant en série le numérateur, on sait d'avance que les termes en h et A' disparaîtront , ce qui se vérifie d'ailleurs immédiatement, car ils ont pour facteurs les quantités

A^'-HBf H-CO', Ao"-i-B^''-f-CO'',

c'est-à-dire les déterminants

OÙ deux colonnes coïncideni; et de plus le terme -^ sera multiplié par la quantité

Av"'-t-Bf"-^ce"':

ce qui nous conduit précisément au déterminant A Ayant d'ailleurs

nous parvenons sur-le-champ à l'expression cherchée

Pour établir le second théorème, je rappelle qu'en général la plus courte distance à des droites

est donnée par la formule

[[l,c' — cb'Y + {ca! - ac'f -^ [ab' - ba'fY

où le numérateur est, en valeur absolue, le déterminant

Or, en considérant de nouveau les points de la courbe qui correspondent aux arcs s q\. s -h h, les droites deviendront les tangentes en ces points, si l'on fait

el ensuite

a' = (),'(.v-f-/0, b' = 'lf'{s-hh), c'=0'(s-h/i).

Développani en série, suivant les puissances de //, on obtiendra d'abord

bc'-cb' = yQ'(s -h h)- Q'-y{s H- A) = - A// +. . .,

ca'—ac'=^ 6>'(.v-h/i)— ^'0'(s-^-/i) ^-BA-f-..., fl//— hn'r^ <p';j;'(.V 4- h) - f <p'(.ç -t- //) = — C/* -h . . ., >

d'où résulte, pour le dénominateur de ô, en négligeant le carré de A,

[(ftr'-c6')'H- [cn'-nc'Y^ (aA'- &«')* ]^ = //( A^-H B^-f- C')*

Pour évaluer ensuite le numérateur, remarquons qu'on a identiquement, d'après les propriétés élémentaires des déterminants,

b b' — b ll->r Y — y'

et si l'on effectue, dans les deux dernières colonnes, les développements en série, on trouvera, en employant seulement le premier terme de chaque développement.

0' hfi" -^Pf)'"

la

Nous sommes donc encore ramenés comme tout à l'heure au déterminant A= -jr— : il en résulte

laRV

et, par conséquent,

ce qui démontre le second théorème (*).

V. Voici encore des résultats analogues aux précédents. Soient U, V et W les angles des tangentes, des plans osculateurs et des deux normales principales aux extrémités des arcs s Ql s + h; R et > désignant comme tout à l'heure les rayons de courbure et de torsion à l'extrémité de l'arc s, on aura

R 24 Rr-'

,/Ry^

W= / ,/.vi/ -^ ------ -V^,

en négligeant les puissances de h supérieures à la troisième. Dans le cas des courbes planes, la première équation devient

Js R

pour toute valeur de //. De même, en considérant la distance p de l'extrémité de l'arc s -h fi h la tangente à l'extrémité de l'arc s, l'expression