TT '^P

smU jr")

fin

identiquement nulle à l'égard des lignes planes, sera, pour les courbes gauches, infiniment petite du troisième ordre par rapport à h, et l'on devra poser alors

sinU 77 = — ^-^

an y7.nr^

aux infiniment petits près du quatrième ordre.

(*) Voyez, pour la démonstration géométrique, le Trait/' de Calcul différentiel et de Cqlcul intégral de M. Bertkand, t. I, p. 638.

VI. Après avoir exposé, en général, ce qui concerne les notions géométriques nouvelles de la courbure et de la torsion, nous allons faire une application particulière des formules obtenues, en considérant l'hélice. On nomme ainsi la courbe obtenue lorsqu'on enroule le plan d'un angle sur un cylindre quelconque, de manière que l'un des côtés s'applique exactement sur la section droite.

Prenant donc le plan de cette section pour plan des xy\ il est clair que l'ordonnée z d'un point quelconque de l'hélice sera proportionnelle à l'arc s de la base du cylindre, compté à partir du sommet de l'angle. Nous obtiendrons ainsi ses équations, en joignant à la relation

les expressions, en fonction de l'arc, des coordonnées x et / (le cette base, à savoir

L'arc de cette courbe, que je désignerai par c, s'obtiendra <lonc par la relation

di^ =(?"-+- ^^" -^ ni' ) ds-" = (i + /«■-' ) ds\ qui donne

rfiT = y/i H- m'ds^

d'où résulte que l'on forme aisément les dérivées prises par rapport à o de toute fonction de s, u =f{s). Nous aurons, en effet.

et, jlar suite,

d'il f"{s) da' I -+- w'

Nous calculerons, d'après cela, les rayons de courbure et

fe Partit: 12

l-jB CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de torsion de l'hélice, donnés en général par les formules

en écrivant

drj drj''^ dn^

dy d^Y d^y

de da'^ dn^

dz d'z dH

dn dn^ da^

Il viendra ainsi

dx d^x d^x

ds ds^ ds^

ffy (Py d^J

ds dr ds^

dz (Pz d^z

ds ds^ ds^