CR. CM

et l'équation du plan prend cette forme simple

^ = (X-ar)cp'-+-(Y-j)f.

où l'on reconnaît qu'il contient la droite

mais la seconde relation représente la normale à la base du cylindre, cette droite n'est autre, par conséquent, que la nor-

l8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

maie même de la surface au point

En dernier lieu, voici les coordonnées du centre du cercle osculateur et du centre de la sphère osculatrice; les premières ont été obtenues, p. i56, sous cette forme

et un calcul facile donne pour résultat

Quant aux secondes, on voit aisément que les relations de la page i35 peuvent être écrites de cette manière

a=:a-rRR'A, b=p-r^R'B, c = 7 - rRR'C,

et l'on en tire immédiatement les valeurs

h = ■^{^) H- <^(i + m') rf'{s) - ^,R'(i -t- w'y'f(.y),

VII. En appliquant, ces formules au cas particulier d'un cylindre droit à base circulaire, elles montrent immédiatement que Si. étant constant, la courbure et la torsion de l'hélice seront elles-mêmes constantes. Mais si l'on désigne par p le rayon du cylindre, les équations de la courbe étant alors

^ = p cos - ? r = p sin - > z — rns,

cette conclusion était évidente à priori. Posons en effet, en remplaçant s par ac-hs,

J:" = pCOS , J = p Sin , z'=w(a + .y),

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l8l

OU trouvera aisémeni ces relations

x = .ccos rsin -■

r' = j: sin - -+- r cos - ■>

Elles montrent qu'un changement d'axes ferait coïncider x', X',z' avec x,y,z; par conséquent, les fonctions des coordonnées qui conservent leur valeur quand on change les axes, et qui tiennent ainsi à la nature et non à la position de la courbe, sont constantes pour tous les points de l'hélice.

Une autre conséquence de la supposition de Si constant, c'est qu'alors le centre du cercle osculateur et le centre de la sphère osculatrice coïncident, leurs coordonnées étant, d'après les formules précédentes,