SURFACES
I. En considérant sur une surface les sections obtenues par les plans qui passent par la normale en un point donné, leurs rayons de courbure en ce point varient suivant des lois simples dont la découverte, due à Euler, a servi de fondement à la théorie qui va nous occuper. Pour les établir, nous rapporterons à cette normale comme axe des z, et à des droites rectangulaires situées dans le plan tangent au point considéré, l'équation de la surface proposée.
De ce choix de coordonnées résulte, comme la remarque en a déjà été faite, que l'ordonnée z développée suivant les puissances de x et de y, par la série de Maclaurin, a cette forme :
z = /-/.r' + bxy-^cy^ -+- dx^ -+- ex''jr+fxj^-^gy^-\-. . . .
iSa CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Les théorèmes que nous allons démontrer supposent donc la possibilité d'un tel développement, au moins pour des valeurs infiniment petites de x et de j, et se trouveraient complètement en défaut en considérant, par exemple, la surface donnée par l'équation
l'ordonnée z ne pouvant alors s'exprimer de celte manière ( * ). Cette remarque faite, nous procéderons comme il suit. Coupons la surface par un plan normal quelconque
j=^.rtanga,
et rapportons la courbe d'intersection à deux axes situés dans p.. ^3 son plan, l'un étant la trace Oa;, (^g-. 23)
du plan sécant sur le plan des xf, et l'autre l'axe des z. On aura évidemment, en nommant ^, l'abscisse OP d'un point quelconque M de cette courbe,
OQ -— X = .r, cosa, PQ =:J■ = x^ sinx.
Quant à l'ordonnée MP, ce sera précisément le z de la surface, de sorte que la section aura pour équation dans son plan
z — (rtC0S*a + /;C0Sasina -t- csin^a).rj + dcos^xx^^ -H. . . ,
les termes non écrits contenant des puissances de x, dont l'exposant est supérieur à 2.
Or il est aisé de voir que le rayon de courbure à l'origine a pour valeur
2(rt COS^a + ^COSasina H-csin*a')'
car, en supposant en général
r = Ax'^ -f- B^^ + . . . ,
(*) Serret, Cours de Calcul différentiel et intégral, t. I, p. /172.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l83
la formule
donne bien
j^dm
pour j; = o; el voici les importantes conséquences qui résultent (le cette expression.
Considérons l'équation
ax^ -\-bxy-incy^ = i,
qui appartient à une courbe du second degré rapportée à son centre; en prenant ce centre pour origine des coordonnées polaires, et faisant
^ = pcosa, r=psina, on aura
p*(«cos'a-+-èsinacosa-i-csin'a) = I,
et, par conséquent,
Les rayons de courbure des sections normales, correspondant aux directions du plan sécant déterminées par l'angle a, varient donc proportionnellement aux carrés des rayons vecteurs de celte courbe, qui a reçu le nom à' indicatrice. Il en résulte qu'en un point d'une surface quelconque, il existe toujours deux plans normaux rectangulaires dirigés suivant les axes de l'indicatrice et donnant des sections dont la courbure est la plus grande et la plus petite possible. On les nomme sections principales de la surface au point considéré. Faisant ensuite application des propriétés élémentaires des rayons vecteurs menés du centre à un point d'une courbe du second degré, on a ce théorème : La somme des inverses des rayons de courbure de deux sections rectangulaires quelconques est constante et égale à la somme des inverses des rayons de courbure des sections principales.
La notion de l'indicatrice qui donne si aisément ces résul-
l84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
tats, découverts par Euler, est due à M. Charles Dupin, et ar été présentée par ce savant illustre de la manière suivante.
Considérons la section faite dans la surface par un plan parallèle au plan tangent 2 = A, en supposant li infiniment petit, section qui se projettera en véritable grandeur sur le plan des xy et aura pour équation
]i = ax^ -4- bxY -4- c r ' + dx^ + . . . .
En remplaçant les coordonnées x et/ par x \jli, y\Jli, on obtiendra une courbe semblable :
h — [ax^ -h bxy -f- c r ^ ) A + [dx^ -t- ex'- y -f- . . . ) A /^ -h . . . ,
ou bien
I = ax^ + bxy -f- cj •' + dx^ \[h + . . . ,
dont la limite, pour h infiniment petit, donne précisément
I = ax"^ -^-bxy-^-cy"^.
Je n'exposerai point ici les beaux résultats déduits de la considération de l'indicatrice par M. Charles Dupin, et je remarquerai seulement que si l'on eût opéré de même à l'égard de la section par le plan z = — h, en remplaçant encore x et j par X y/A et js//t, le résultat eût été évidemment
— I = ax' 4- hxy-\- cy^.
Par conséquent, lorsque l'indicatrice est une ellipse, l'une des deux équations représentant une courbe réelle et l'autre une courbe imaginaire, on a cette conclusion, que la surface est tout entière au-dessus ou au-dessous du plan langent, dans le voisinage du point de contact. Si l'indicatrice est une hyperbole, les deux courbes sont réelles, et la surface située eïi partie au-dessus et en partie au-dessous du plan tangent le traverse nécessairement.
La théorie de la courbure des surfaces comprend encore la détermination de la courbure d'une section oblique, mais je me bornerai à cet égard à énoncer le théorème suivant, dû à Meusnier, que le rayon de courbe d'une section oblique est égal au rayon de courbure de la section normale qui a même
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l85
tangente, multiplié par le cosinus de l'angle compris entre les plans des deux sections.
II. On nomme ligne de courbure d'une surlace le lieu des points tels, que les normales infiniment voisins se rencontrent; condition qui s'exprime par le calcul de la manière suivante.
Soit z =/( X, j) l'équation de la surface proposée ; en faisant
(/z dz
on aura, pour la normale au point {x, y, z),
ou, pour abréger,
Cela étant, la normale infiniment voisine, au point dont les coordonnées sont x -\- dx, y-{- dy\ z-+-dz, aura pour équations
dP et dQ désignant, par rapport aux variables indépendantes X et )•, des différentielles totales qui se présentent en cette circonstance pour la première fois. Cela posé, la condition d'intersection s'obtiendra en exprimant que les équations
P = o. Q = o, dP = o, dQ^o
ont une solution commune en X, Y, Z; mais les deux dernières, savoir
fLc -t- pdz — dp[Z — z) — o, dx-{-qdz — dfj{Z — z) = o^
ne contenant que z, donnent immédiatement, par l'élimination,
dx -+- pdz dy-h (/dz TiJ? ~ dij
Et, si l'on remplace les différentielles totales dz, dp, dq par
l86 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
leurs valeurs
dq = -j- dx-^ ~dy= sdx -^ tdy,
la condition ne contenant plus que x, y t\ -j-i savoir
(Iy dr
dx ctx
donne l'équation différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy. Celte équation est du second
dv degré par rapport à -t^; il s'ensuit qu'ayant mené une normale par un point quelconque d'une surface, on peut toujours, dans deux directions différentes, passer de ce point à un autre infiniment voisin, pour lequel la normale soit dans un même plan avec la première. Je vais maintenant prouver que ces directions coïncident avec celles des sections principales au point considéré. Supposons, en effet, que les axes coordonnés, dont la position est restée arbitraire, soient ceux dont il a été fait usage tout à l'heure, à savoir la normale en un point de la surface, et deux droites rectangulaires dans le plan tangent en ce point; le développement en série suivant les puissances de x et j" de l'ordonnée sera
z =■ ax'^ + hxy -h cj^ + • • • , de sorte qu'on aura, pour ^ = o et j = o, />• == o, <7 = o,
Il en résulte qu'à l'origine des coordonnées, les valeurs de
-j- dépendent de l'équation
on bien
ày
dx
(ir
br^-IC
dy dx
2(rt -
h[ -^\ +2(rt — cl-j- — b — o.
qui a précisément pour racines les tangentes des angles des axes de l'indicatrice
<7X' -4- bxY -(- c j' = I
avec l'axe des abscisses. Tout point de la surface pouvant devenir, par un changement d'axes, l'origine des coordonnées, on voit que la conclusion précédente est générale, et que la proposition annoncée est démontrée.
Ce qui précède conduit encore à cette importante conclu-
fit V
sion, que l'équation du second degré en -f- a toujours ses
racines réelles et ne peut les avoir égales sans être identique, de sorte qu'alors la direction des lignes de courbure devient indéterminée. Pour le reconnaître directement, posons, en introduisant une inconnue auxiliaire p,
dx dx
d'où
^ [û(, -+- ,y') f ] -H (p^ry j) = O,
«n, par conséquent,
[p (, H- />' ) - r] [p (i -h 7=) - /] - ( p/>7 - sY = o,
pour l'équation relative à p. Or le premier membre est négatif quand on y fait
r t p = 1 et p = ,;
l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
d'ailleurs, le coefficient de p^ étant
il est positif pour p = ±x , de sorte que les racines de l'équation du second degré sont réelles et séparées par les ex-
r t pressions j et ^' Elles ne peuvent donc devenir
égales entre elles, qu'en prenant pour valeur commune d'où la double égalité
pq 1
qui rend en effet identique l'équation en -J-- Les points do
la surface proposée, dont les coordonnées vérifient ces relations, se nomment ombilics, et on les caractérise encore en disant que l'indicatrice qui leur correspond se réduit à un cercle. On a déjà rencontré ces mêmes équations, p. 147, dans la théorie du contact, et nous savons par celte théorie qu'on peut, en chacun de ces points, obtenir une sphère osculatrice ayant avec la surface un contact du second ordre. Pour compléter ce rapprochement, revenons un instant aux axes coordonnés par rapport auxquels on a cette expression de z,
savoir
z = ax'^-h bxy -\- cy'^ -\- dy^ -h ex^j -h. . . .
En supposant l'origine un ombilic, la sphère osculatrice tangente en ce point au plan des xy, et dont le centre sera, par suite, sur l'axe des z, aura évidemment pour équation
d'où, en faisant
X=x, Y=j, cette valeur
où je prends le radical avec le signe — , afin qu'on ait Z = o, en supposant ^ et j nuls. Cela posé, les conditions du contact du second ordre à l'origine sont que les développements des
deux ordonnées Z el 2, suivant les puissances de x et/, aient le même terme constant et les mêmes termes du premier et <lu second degré. Or, ayant
et, par conséquent, on doit poser
ax"^ -h bxy -h cy' ■— — ^ l-^' h- /' )•
Nous retrouvons donc la conclusion obtenue par des considérations d'origine si différente, que l'indicatrice relative aux ombilics est un cercle. Maintenant on reconnaît de suite qu'ils existent sur l'ellipsoïde, et sont les points de contact des plans tangents parallèles aux plans des sections circulaires, car les sections des surfaces du second ordre par des plans parallèles étant des courbes semblables, l'indicatrice en chaque point est l'une quelconque des sections parallèles au plan tangent en ce point.
III. Monge a découvert le premier que les projections des lignes de courbure de l'ellipsoïde sont des ellipses ou des hyperboles, par l'analyse que voici. Considérant l'équation
on en lire d'abord
de sorte qu'en faisant pour abréger
il vient pour l'équation différentielle de la projection
igO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On en déduit, par la difTérenliation, ce résultat (.A.,|...'-A,.-B)'^.[A(|y-..](.|-,)=„,
et, éliminant entre les deux relations la quantité x^—Ay^—B, on arrive à cette relation très-simple
d^y dy f dy \ dx^ dx\ dx - )
dy Divisant par xy -j- ? elle devient
dy (Jy
dx^ dx I
(Ij^ ' y x~ ' dx
Les trois termes étant des dérivées exactes, on en tire immédiatement, en désignant par C une constante,
d'où
l ZÉ^ - r C dx
et par conséquent
Telle est donc la forme dans laquelle est contenue la relation cherchée; et, en effet, si l'on substitue dans l'équation proposée la valeur dey, on voit qu'elle est identiquement vé-
rifiée en posant C'= r-j^- La combinaison analytique
qui a conduit au résultat n'est justifiée que par le succès; il semble en effet difficile de voir de quelle manière Monge y a été conduit, l'exposition de sa méthode commençant par ces mots, singulièrement obscurs : « Celte équation étant élevée, on doit la regarder comme résultant de rapports non linéaires établis entre les constantes qui complétaient les intégrales du premier ordre d'une équation différentielle d'un ordre supérieur. » {Application de l'analyse à la Géométrie, p. 142.)
