COURBES ET SURFACES ENVELOPPES
I. Une courbe élani donnée par une équation renfermant un paramètre a, savoir
le lieu des intersections successives de chacune de ces courbes avec celle qui correspond à une valeur infiniment voisine du paramètre est nommé Venveloppe de la proposée.
Son équation s'obtiendra donc en éliminant la variable a entre les deux relations
/{•^il^ a-¥- (ia)= o.
Mais on commencera par introduire la supposition de da . infiniment petit, avant d'effectuer l'élimination, en remplaçant le système des relations proposées par celui-ci
da
dont la seconde donne immédiatement, dans la supposition faite,
fia
Cela posé, concevons que l'on en tire
l'équation de l'enveloppe se trouvera représentée par
et il sera facile de conclure de là que l'enveloppe est tangente à chacune des enveloppées, en nommant ainsi les courbes /(x,^, a) = o.
En effet, on trouve en différenliant
dx dr dx
disj \dx dy dx]
Mais -4- ne diffère de ~- qu'en ce que <p(^, j) y remplace a,
et9(^, j) est précisément la valeur de a qui annule ^\ donc
-/■ s'évanouit identiquement, et il reste «9
<5te rfy dx
C'est précisément la relation qui déterminerait le coefficient angulaire de la tangente à la courbe enveloppée; on en conclut que les deux courbes ayant même tangente en leur point commun sont tangentes entre elles.
II. La règle précédemment donnée pour la détermination des courbes enveloppes conduit à un paradoxe, si on l'applique à l'équation résolue par rapport au paramètre a, car la dérivée égalée à zéro donne la relation absurde 1=0. Soit, pour fixer les idées, le cercle (*)
(.r — «)^-^j^=R^ d'où l'on tire
En prenant pour courbes infiniment voisines
« = .r H- \JW — y'\
a -f- dn = JT + \/R^ — jS
on voit effectivement qu'elles ne peuvent se rencontrer, d'où l'équation contradictoire 1 = 0; mais la conclusion à tirer de là, c'est que l'on doit chercher le point de rencontre de ces deux autres courbes
« = X -)- v/R^ — Jr^
a -^ da — X — y/RTHrp^ (*) SzK&^-ï, Cours de Calcul différentiel et intégral, t. I, p. 3o8.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. igS
qui correspondent à deux déterminalions différentes du radical. Or on obtient ainsi pour résultat j^* — R'=o, comme par l'application de la règle à l'équation non résolue
