III. Soit proposé de déterminer l'enveloppe de la droite

:rsina — jcosa =/(a),

où le paramètre variable est l'angle a que fait cette droite avec l'axe des abscisses. La dérivée par rapport à a donne

JTCOSa -H jsina =/'(a),

et en résolvant ces deux équations par rapport à x et j, on exprimera en fonction du paramètre variable les coordonnées d'un point de l'enveloppe, qui seront

.r =/'(a)cosa -+-/(a)sina, y =f'{x) sina — /(a) cosa.

Ces valeurs conduisent à une conséquence remarquable pour l'arc de cette courbe. On trouve en effet

fix — [/"(a) -+-/(a)]C0Sa (b., '(r = [/"('=')+/{«)] Sina r/^,

ce qui donne d'abord, pour le coefficient angulaire de la tangente,

^=tanga,

comme on devait s'y attendre, la droite mobile que nous savons être tangente à son enveloppe faisant avec l'axe des abscisses l'angle a. Mais ce qu'il importe surtout de remarquer, c'est qu'en faisant la somme des carrés, on trouve

dx" -^ rfj^ = c/^' = [/" ( a ) H- /(a )]^/a»,

d'où, par conséquent,

rf. = ±l/''(a)+/(«)]rfa,

le double signe devant être déterminé de manière que ds soit positif ou négatif, suivant que s croît ou décroît avec a. On

l"f« Partie. l3

1^ CALCUL DIFFiMEKTISL.

YOil ainsi qu*on obtient pour tis une expression sans radical et conduisant à une infinité de courbes rectifiables, puisqu*en prenant pour /(a) la dérivée d'une fonction connue, on aura immédiatement l'expression de l'arc « en a. Soit, par exemple,

/(«) = A sînat cos« ;

réquation de la droite

^ànat — ^roosa = — asinxcosxf

écrite amsi

acoss asm«

montre que les segments interceptés sur les axes coordonnés sont les projections sur ces axes de la constante «t. La courbe que nous allons reclilier est donc Tenveloppe d'une droite de grandeur «qui se meut en s'appuyant sur les axes coordonnés, j^ . et l'on aura d'abord, pour les coor-

données d'un point M {^g. a4),

X = — « cos*«.

d'où, pour les loagueui^s des segments MP, MQ, interceptés par les axes sur la tangente en ce point,

MP = « cos*«, MQ = fl sin*«; et enfin pour l'équation en coordonnées rectangulaires

Qoant à la diflérentielle de l'arc, on obtient <& = dr 3<t sinx cosx </x, et en considérant la portion de courbe commençant au point A, pour a=-i et qui s'étend dans l'angle des coordonnées positives, jusqu'à la limite « = ir, nous choisirons le signe — ,

paîsqae cosz est négatif dans cet intenralle. De cette manière, s croîtra arec a, depuis b Taleor zéro relative au point A, et l'on aura, d'après la notion déjà acquise de l'intégrale définie,

$ = —i 'iaâmv.tmixdx.

Mais Fexpression sin'st -♦-€ a pour éénwée

— Sasinxcosz, et, en prenant C = — > on Toît qu'elle s'évanouira pour

de sorte qu'elle représentera bien la somme des valeurs de la

difierentielle — 3a aina. cosxdx, à partir de a = -• Ain$î l'on a

résultat qui s'interprète géométriquement; car, d'après l'expression donnée plus haut du segment de tangente MP, on voit qu'on obtient simplement

FV. Je me bornerai à quelques mots sur les surfaces enveloppes. On en distingue deux espèces : dans les unes, la surface enveloppée est définie par une équation

/{JT, r, s, fl) = o,

renfermant un seul paramètre variable, et la courbe d'intersection de deux sorfiKes infiniment voisines, correspondant aux valeurs a et a -i- da, est détmninée par les deux équations

OU, en opérant comme plus haut, par celles-ci

da

Or on démontrera, par un calcul tout semblable, qu'en tirant de la seconde équation a^=(s>{x,f,z), la surface enveloppe représentée par

est tangente à toutes les enveloppées. Effectivement, les deux coefficients -r-Gi-r- de l'équation du plan tangent sont donnés par les relations

df df dz df 1 d<f r/(jp dz\ dx dz dx rf'f \dx dz dx] '

df df dz df f f/cp d'jf ^^\ __ dy dz dy da^ \dy- dz dy) '

qui se réduisent, à cause de -^ =0, à

d£ dfdz__ dx dz dx '

df df dz dy dz dy

Ces coefficients sont donc ceux qu'on obtiendrait en cherchant le plan tangent à la surface enveloppée /( x, j, z, « ) = o, le paramètre a ayant la valeur numérique que prend cp(a;, j, z) au point considéré.

Soit, par exemple, le plan

z — ax -^ ^[a)y -{-i)[a).

La surface enveloppe résulte de l'élimination du paramètre variable entre celte équation et la suivante

elle porte le nom de surface développable, et, en identifiant

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. ig7

l'équalion générale du plan langent en un point (^, r, 2) quelconque,

avec celle-ci nous aurons

^(«) = z — poc — qy.

On en lire immédiatement, entre les dérivées partielles du premier ordre, la relation

qui est d'une grande importance dans la théorie de ces surfaces; il vient ensuite, en dillerentiant successivement par rapport à a: et j,

OU, plus simplement, *

et, par suite,

— .vV/= o,

si l'on élimine 9' {/?). C'est ce qu'on nomme Y équation aux différences partielles des surfaces développables ; elle montre qu'en chacun de leurs points, l'indicatrice

.^rX'-t-.vXY-+- jfY^ = i

est un système de deux droites parallèles, et il en résulte aisément que l'une des deux sections principales a un rayon de courbure infini.

La seconde espèce de surfaces enveloppes se rapporte à l'équation

renfermant deux paramètres variables a et 6, et s'obtient en éliminant « et 6 entre les trois équations

df df

da db

ig8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Alors la surface obtenue par ce calcul louche encore toutes les surfaces proposées, mais chacune en un seul point, ou en un nombre fini et limité de points; car, pour des valeurs données des constantes « et 6 , les trois équations ci-dessus ne donnent, pour x,y, z, qu'un nombre fini de valeurs, tandis qu'on avait, dans le cas précédent, une courbe de contact.

Formes indéterminées de certaines fonctions pour des valeurs particulières de la variable.

^o . fi^) i. . ... .0

aoit '-^ — - une fraction se réduisant a - pour x ^= a, de

sorte que l'on ait

La série de Taylor, limitée à ses deux premiers termes, donnant dans ce cas

f{a-^h) = hf'{a^()h),

où Q et 0, sont des quantités comprises entre zéro et l'unité, on en conclut, en faisant tendre h vers zéro,

La valeur cherchée est donc le rapport des dérivées des deux termes de la fonction proposée.

La démonstration précédente suppose évidemment la quantité a finie, mais on va voir que le résultat n'est point soumis à cette restriction.

Faisons , en effet , a: = - 5 la fraction proposée devient

-r-> et prend la forme indéterminée pour j = o, ce qui

permet de lui appliquer la règle relative aux valeurs finies de la variable. Or on obtient de la sorte

ce qui ramené précisément a

Il pourrait arriver que cette nouvelle fraction se présentât

de nouveau sous la forme -; alors on serait conduit, en ap-

pliquant la même règle, au quotient des dérivées secondes

fia)

» et, en continuant ainsi de proche en proche, s'il y a

lieu, on obtiendra la valeur cherchée par le quotient "^—-r- — -?

n étant l'ordre des premières dérivées des fonctions /(^) et

cp(;r ) qui ne s'annulent pas à la fois pour a; = a.

Considérons maintenant le cas où les deux termes de la

f(x) fraction — — - sont infinis lorsqu'on v fait:ri= a; on le ramené

cp(x)

immédiatement au précédent, en écrivant

rf(.x)

Appliquant donc la règle, et désignant par A la limite cherchée, nous trouverons

— 5>V) ce qui conduit à l'égalité

A = A^ lim

d'où l'on conclul, quand A n'est ni nul , ni infini,

A-ÛfL).

C'est donc encore le rapport des dérivées qui donne la valeur cherchée, et l'on va voir que la conclusion subsiste, si l'on suppose A = o. Considérant en elïet l'expression

/(■r)H-ay(x)^

qui se présente aussi sous la forme - > et a évidemment pour limite la constante a, on trouvera, en appliquant la règle,

lim -^ ,, / ' = a,

ff{x)

et, par conséquent,

f(x) En dernier lieu, si ^, — - devient infini pour x = a, la frac-

tion inverse -^ — ^ a pour limite zéro ; de sorte qu'on a, d'après ce qui précède,

et, par conséquent,

?'(«) J'omettrai la considération delà forme indéterminée ox oo ,

comme se ramenant d elle-même aux cas précédents de et — •, de la forme oo — co , qu'on peut rattacher à

et enfin de celles-ci car en posant on en conclura

logr=?(j:)log/(j:),

de sorte qu'il n'y aurait, dans aucun de ces cas, de question nouvelle. Voici maintenant l'application la plus intéressante à envisager; elle concerne l'expression

or" log.r,

qui, en supposant n positif, donne, pour^ = o, la forme o Xûo . Or, en récrivant de cette manière : — ^—•) on sera ra-

mené aux quotients — » et, en prenant le rapport des dérivées, nous trouverons

— nx~'^-

ce qui est nul pour a: = o.

Considérons encore, pour x=^o, l'expression — —■> qui

devient alors -• En posant

d'où

j; = (-logO'', elle se ramène à celle-ci

-.= f(-lOg0^- [-tn\0gt) '

(— logO ^ Or on a ^ = o, pour a: = o, ce qui ramène au cas précédent, de sorte que la limite est encore zéro. Je cite cet exemple à cause de la remarque suivante de Cauchy. Formons les dérivées successives de la fonction

nous trouverons

APPLICATIONS ANALYTIQUES. 2o3

d'où il aisé de conclure qu'en général f^^^x) se compose

d'une somme de termes de la forme — —i n étant positif; de

sorte que, pour x = o, la fonction proposée s'annule, ainsi que ses dérivées des divers ordres. Il en résulte qu'en appli- «juant à cette fonction la formule de développement en série de Maclaurin , le reste seul paraîtra dans les résultats. En n'ayant donc pas égard au reste, les deux expressions

F(x) et F(x)-i-e~^

sont données exactement par la même série; d'où l'on voit combien la condition de convergence est loin d'être suffisante, comme le croyait Lagrange, pour que la série

représente F(^).

f(x r) En dernier lieu, nous observerons qu'une fraction —, — *-—■,

qui, pour x'=:a,y'=b, se présente sous la forme -> est

essentiellement indéterminée ; car la limite, pour li = o,hz= o, de l'expression

f(a-i-h,b-i-A) dx (ly

(Ix dy

lorsque l'on aura remplacé ^ et j par a et 6 dans les coefficients de h et /r, en négligeant les termes d'ordre supérieur au

h premier, dépendra essentiellement du rapport j' Il est toutefois un cas d'exception à celte conséquence; c'est lorsque l'on suppose

dx dy .. dx dx

•j- =—-,■> ou bien -n' = -7-i d^ <fd df drf '

dx dy ^ dy

condition qui s'interprète immédiatement en considérant les

2o4 CALCUL DIFFËmKITIEL.

deux courbes /(x, >) = o, o{x, jr) = o. En effet, ces courbes sont alors tangentes entre elles au point représenté par le système des valeurs considérées a: = a,jr=b.

Maxima et minima.

I. On dit qu'une fonction /(x) est maximum ou minimum, pour une valeur de la variable a: = a, lorsque la différence f(a -+- A) — f{a) garde le même signe, h variant entre les li-^ miles — e el-h e, où e est une quantité déterminée, aussi petite d'ailleurs que l'on voudra. Le maximum correspond au cas où celle différence est négative, et le minimum au cas où elle est positive. Cela posé, on a, par la formule de Taylor,

Or, on peut prendre h assez petit pour que le terme hf'{x) donne son signe au second membre ; ce terme changeant de signe avec A, il en résulte que, dans le cas du maximum et du minimum, on doit avoir

En désignant donc par x =ia l'une des racines de ceti»équation, il viendra

et si l'on suppose encore h suffisamment petit, le signe de la différence considéré sera déterminé par /"(«); ainsi, à la valeur x = a correspondra un maximum ou un minimum, suivant que

/»<o, ou f'[a)>o.

Dans le cas où l'on aurait à la fois f'{a) = o el /'{«)= «s la formule de Taylor donnant

/(« + A) -/(«)= :| /-(«)+..., on voit qu'il n'existera ni maximum ni minimum, à moins que

APPUGATI05S AJSALTTIQCKS. 2o5

la nouvelle condition f'{a) = o ne soit remplie, et alors le signe de la dérivée quatrième servira, comme précédemment relui de la dérivée seconde, à distinguer le cas du maximum de celui du minimum. En continuant ainsi, on arrivera à une conclusion que l'on peut énoncer sous forme géométrique, comme il suit. Les points de la courbej"=/{j:) auxquels correspondent des maxima ou minima de l'ordonnée sont ceux où la tangente, étant parallèle à l'axe des abscisses, a un contact d'ordre impair avec la courbe.

II. U peut arriver que Ton ait à déterminer les maxima et minima d'une fonction /"{x-, x),x étant lié à x par une équation ç(x, r) = o; on posera alors

dx djr dx '

dr et l'on tirera -j- de la condition

do df dy dx tfy dx

Or une conséquence analytique à remarquer, c'est qu'en éliminant -f- par la méthode du multiplicateur, on déduira de la combinaison

dx dy dx \dx dydx)~ ' les équations

df ^ d9 df^dv

d'où l'énoncé suivant :

Les valeurs de x eiy propres au maximum et au minimum de /{x, 7"), sous la condition (p(x, r) = o, s'obtiennent en égalant à zéro les dérivées partielles, par rapport à x et^, de la quantité /(x, r) — Xo(x, ^).

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse du carré de la distance à l'origine des coordonnées d'un point de la courbe du

second degré

ax*-4- ^bxy-i-cy^= i,

on formera les dérivées partielles de

x^-\- y"^ — )v(«x^-+- ibxy -+- cy"^ — i), ce qui donnera

X — \[ax H- by) —- o, y — 'k[bx -^ cy)=^ o,

MulUplianl maintenant la première égalité par x, la seconde par/, et ajoutant, nous trouverons

x"^^ y"^ — l[ax''-ir ibxy -\- cy'^) = o.

Or on voit, d'après l'équation de la courbe, que l'on a précisément x'' -\- y'^ = 1; et celte quantité s'obtiendra évidemment en égalant à zéro le déterminant du système

I — «X — b\ — b\ i-cl

Si l'on fait X = -» on retrouve ainsi l'équation

[s — a) [s — c] — /;-= o, comme par la Géométrie analytique.

III. Les maxima et minima d'une fonction de deux variables indépendantes /(^, y) se définissent encore par la condition que la différence

garde le même signe, quelles que soient les valeurs positives ou négatives des quantités h et k, supposées suffisamment petites. Cela posé, on a, par le théorème de Taylor,

dy

dx

1 dx^

hh

d\f dxdy

1 dy'

de sorte que, pour h et h très-petits, le signe du premier membre est donné par l'expression

dx dy

La différence ne peut donc avoir un signe invariable qu'en posant

(Ix ^ dy

Mais ce signe alors étant donné par le trinôme homogène du second degré

2\ r/x^ dxdy dj'^ ) 2 \f/x''' h dx dy ti^ ^y^ J^

il sera nécessaire qu'il ne puisse, en faisant varier j-» passer

du positif au négatif. Telle est l'origine d'une condition qui n'a point son analogue dans la théorie des maxima et minima des fonctions d'une variable, savoir

d\f d\f f d\f Y dx'* dy* \dxdy )

En la supposant remplie, la fonction sera un maximum ou un minimum, suivant que le coefficient de A' ou /i% par

exemple le premier -j^i sera négatif ou positif.

Ces résultats s'énoncent sous forme géométrique, en considérant la surface représentée par l'équation z =:f(jc, y); on peut dire en effet que les maxima et minima de l'ordonnée z correspondent aux points de la surface où le plan langent est parallèle au plan des xy, et pour lesquels l'indicatrice est du genre ellipse.

FORMATION DES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Équations différentielles ordinaires.

I. Des fonctions d'une forme compliquée conduisent souvent entre leurs dérivées à des relations simples qu'il est utile d'obtenir dans beaucoup de questions, et surtout s'il s'agit de les développer en série. Sous ce premier point de vue, nous nous occuperons de la formation des équations différentielles

2o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

en considérant d'abord l'expression suivante

au sujet de laquelle Lagrange fait cette remarque qu'Mw des principaux avantages des fonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radicaux {*). Effectivement, on trouve, en prenant la dérivée logarithmique

et, en différentiant de nouveau, il vient, après avoir supprimé

le facteur j',

r"[x'^ — i)-^xy' — m^f = o.

Cette relation, ne changeant point quand on y remplace m par — m, aura encore lieu si l'on pose

{x -h y/jr' — I ) "" ={x — ^x^ — i)"',

et c'est de là que Lagrange a tiré une démonstration simple et facile des formules célèbres de Jean Bernoulli pour le développement de sinmcp et cosm9, suivant les puissances croissantes ou décroissantes de sincp ou cos<p. On a, en effet, en faisant x = coscp,

2C0S/w<p = {x -h\/x^— i)'"-i-{x — s/x*— l)*", 2/ — I sinwo) = (^ + y/x"^ — i)'" — [x — )Jx'^ — i)"",

d'où l'on voit que ces diverses questions si importantes dans la théorie des fonctions circulaires dépendent toutes du développement suivant les puissances croissantes ou décroissantes de la variable, de la quantité qui satisfait à la relation

y"[x^ — i) -1- xy' — rn^y =0.

Il suffit d'ailleurs de changer 9 en cp pour introduire sincp

(*) Leçons sur le Calcul des fonctions, p. i3o; 1801.

au lieu de cos<p, mais je n'entrerai pas dans le calcul de ce développement, et je me bornerai à donner les résultats suivants qui peuvent être souvent utiles.

, \m "' / ^^ 1 tn{m — 3) , acoswy = (acosçp)'" (2C0S9)'""'h ^ (acosy )

m [m — ^)(ni — 5 )

(acos<}>)"^*

( 2 cos I}» )"•-' — ...;

sinmo , , , m — 2 , .„ , (m — 3Mm — 5),

-^ = (2008?)"- j— (2COS?r-'-4- i :^ 1 (2C0S?r-

i.a.3 ^(acosçp )"•-'+...;

3", m pair, cos/»çp = (—1)» I — — cos'ç H 77-5-1 — ^cos'y

ffl"(/w'— 2')(ffl»— 4») 2.3.4.5.6

4°, m impair,

cos*^-t-... ;

COS/W? = (— I) > WCOSij) ^— ^r COS^<}»