II. Je considérerai en second lieu l'expression

daf'

OÙ le nombre n est nécessairement entier, et qui représente évidemment un polynôme du n'*"" degré, à l'égard duquel je vais établir la relation

y"{x^— i) -I- ixy' — n[n + i)j= o.

Soit pour un instant

2 = (JC' — l)",

la dérivée logarithmique donnera d'abord l'équation

z' inx

ou bien

z'[x^ — i) = inzx.

Je prends maintenant les dérivées d'ordre n + 1 des deux membres, en faisant usage de la formule établie page 77, savoir

cl"{w>) (V^ n cl"-' Il (lv n[n — \) d^-^ii rP\> d'y

dx" ~~d^^'^'l~d^ dx~^ T:^ lî^^ d^'^'"'^"' daf'

On trouve d'abord pour résultai

rrf-'-^'z , ,r/''z'l

et il suffît de réduire, en posant

pour obtenir la relation annoncée L'expression de forme semblable

rf''-"(,.r')"~^

daf^

traitée de même, conduirait à l'équation différentielle précédemment obtenue, savoir

et M. Liouville {*) a tiré de là une démonstration simple de cette relation découverte par Jacobi, savoir

i—iYn d"-'{i -jr')"~î . ,

— ô-i N , .-, — =sin(«arccosx .