II I

F=l' [x-bf"' [x—bf^''

les coefficients

fg. ^) (p — i,a) (o, g)

III. Dans l'ensemble des fractions simples, telles que , — ^^^^»

on doit distinguer tout particulièrement celles où l'exposant m est égal à l'unité. Le numérateur A de ces fractions a reçu de Cauchy un nom particulier; l'illustre géomètre l'appelle le résidu de la fonction considérée/!^), relatif à la quantité a, et de ce qui précède résulte qu'on peut le définir d'une

autre manière, comme le coefficienl de j dans le développement de/(a + /i) suivant les puissances ascendantes de h. Sous ce point de vue plus général, il ne sera plus nécessaire de supposer la fonction rationnelle; en prenant, par exemple,

f{x) =— — , le résidu relatif à une racine quelconque a: = w7r sm^

de l'équation sin^ = o sera le coefficient de y dans le développement de l'expression

sin{«7r -H /ij sin/t

c'est-à-dire (— i)".

C'est seulement dans le Calcul intégral qu'on pourra apprécier l'importance de cette notion analytique des résidus; en ce moment, je me bornerai à indiquer l'application qu'elle reçoit dans ce théorème de Lagrange (*). Reprenant la fonction ration-

nelle générale /(^) = -r; ? je dis que le groupe des fraclions simples

est le résidu de l'expression

X — a — Il

où l'on considère comme variable la quantité A, relativement à la valeur h = o.

En effet, le développement de/(aH- A) résulte, comme on l'a vu plus haut, de l'équation

(*) j^ctes de l'Académie de Berlin, année 1792. Jacobi en a fait une belle et importante application dans un Mémoire intitulé : Demonstratio nova theonmatis Jbeliani {Journal de Crelle, t. XXIV).

on a d'ailleurs par la simple division

de sorte qu'il reste seulement à chercher le coefficient de j

dans le produit de ces deux séries ordonne suivant les puissances croissantes de cette quantité. Or on peut, dans la pre-

miere, faire abstraction du terme -^ -.-•< dont le deveiop-

pement ne fournit que des puissances positives, et l'on trouve bien, pour le coefficient cherché, la valeur

X — a {x—uY '"'^ {x — aY

Ce théorème est remarquable comme donnant, pour la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples, une expression analytique qui conserve le même énoncé dans le cas des facteurs linéaires simples ou multiples du dénominateur.

IV. Comme dernière remarque sur les fonctions rationnelles, j'observerai que la décomposition en fractions simples permet de former immédiatement leurs dérivées d'ordre quelconque. La question se réduit en effet à obtenir la dérivée rv'*"* de la quantité

qu'on trouve en l'écrivant sous celte forme

J= (x — «)-*; car il vient ainsi sucessivement

et en général

Prenons comme exemple

il suffira d'écrire

,., , I TA^-^B A« — El

pour obtenir de suite

f(»)(x) (-i)"r Ag + B A/7-B •]

Soit en particulier « = ^—r, A = o, B = i , on sera amené à l'expression

C0S9 ,, qui prend une forme tres-simple si 1 on pose ^= —. — -• JNous

aurons en effet

I sin"+'cp

[x — y/— 1 )""^' (coscp — \/ — làincp)""^

= sin"+'çp[cos(« + i)çp +v/ — I sin(« + 3)'f],

' \7iVÎ

(j: + /— I )""^' (cosçp -f- v/— I sinç)"

=z sin"+'Y[cos('/ -H i)cp — /— 1 sin(/? -1- i)if],

el, par conséquent,

— 1 "sin""^'cp sin « H--

En remarquant que f{x) = ^ est la dérivée de

arctang^, on voit qu'on a ainsi obtenu la dérivée d'ordre w H- I de celte fonction (*).

(*) Bertrand (J.), Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, t. l, p. 1^3. (Paris, Gauthier-Villars; 1864.)

Fonctions algébriques.

L'élude des fondions algébriques non rationnelles, définies comme racines de l'équaiion ¥(x, f) = o, conduit à un grand nombre de beaux résultats appartenant à la fois à l'Algèbre et au Calcul intégral, et qui mettent ainsi en évidence une étroite liaison entre ces deux parties, au premier abord, si éloignées de l'Analyse. Quelques-uns de ces résultats, dont nous aurons plus tard à faire usage, s'obtiennent très-facilement, et nous allons les donner après avoir, à cette occasion, complété en plusieurs points importants ce qu'on enseigne de la théorie des équations dans les éléments.