I. Soit

une équation de degré n, je dis qu'en désignant par f{x) une fonction rationnelle quelconque, et posant

cette nouvelle quantité r appartiendra encore à une- équation de degré n.

Soient, en effet, a, b, c,..., l les diverses racines de l'équation considérée, toutes les déterminations de j^^ seront évidemment

c'est-à-dire précisément au nombre de n; ainsi l'équaiion transformée en y sera bien du même degré que la proposée. De celte observation si simple résulte une conséquence importante. Considérons d'abord, pour fixer les idées, l'ensemble des équations d'un degré donné dont les coefficients sont des nombres entiers. Leur nombre est infiniment grand, mais elles ne se trouvent point dans une complète indépendance les unes par rapport aux autres; ce qu'on vient d'établir conduit, en effet, à réunir dans une même classe toutes celles qui se déduisent d'une d'enlre elles, F(jr) = o, par la substitution yz=f{x). Le degré sera d'abord le même, et leurs coefficicnls encore entiers, si les polynômes en x qui entrent au numéra-

lO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

leur et au dénominateur def{x) sont à coefficients entiers. On voit qu'ainsi la résolution de l'équation F(^) = o entraînera la résolution de toutes celles de la classe, el, sous un point de vue plus général, on pourra dire qu'on a, de la sorte, réuni les équations dont les racines sont de même nature el contiennent les mêmes irrationnalités. C'est à la théorie des nombres ou à l'Arithmétique supérieure qu'appartient le développement de cette idée, indiquée ici en quelques mots, et l'on donne plus particulièrement le nom de théorie des formes à l'ensemble des recherches qui se rapportent à ce beau et vaste sujet.

A l'égard des équations entre deux variables F(^, j) = o, il existe une considération analogue, mais plus difficile et plus profonde; et je me bornerai à établir la notion de classe, en énonçant seulement, d'après Riemann, la condition suivante :

Deux équations F(a:,/) = o, F,(m, c) =o appartiendront à la même classe lorsqu'on pourra passer de la première à la seconde en posant

les fonctions /et/, étant rationnelles en x et j, et telles, qu'inversement on puisse exprimer ;r et j en fonctions rationnelles de M et t' (*).

II. J'établirai maintenant cette proposition importante que toute fonction rationnelle /(a;) d'une racine d'une équation de degré n, F(r}=o, est réductible à la forme d'un polynôme de degré n — i, savoir :

f{x) = a,r"~' -t- px"~' H- ...-+- À.

Supposons d'abord que f{x) soit simplement une fonction entière, de sorte qu'on ait

et divisons ce polynôme par F{x), de manière à obtenir l'é-

(*) RiEUANN, Théorie des fonctions abélieivies, § 12 {Journal de Crelle,' 18.57).

galité

f{x) = Fix)Q-i-R,

où Q désigne le quolienl et R le reste. On en conclura, pour toutes les racines de l'équation proposée F(x) = o,

C'est le résultat annoncé, attendu que le reste R est un polynôme en X de degré moindre que le diviseur, et au plus égal an — i.

Supposons ensuite que f{x) soit le quotient de deux poly-

nômes, c'est-à-dire de la forme fix) = ~ — ? et, pour plus

de simplicité, admettons que l'équation soit seulement du troisième degré. Si l'on désigne par a, 6, c ses racines, il s'agit alors de prouver qu'on peut déterminer les trois coefficienls a, [3, y de manière que l'égalité suivante

soit satisfaite, en supposant successivement x = a,x j; = c. Or les équations

f(a)- art'-f- TirtH-v, f(b) = ^b' + pt, + y,

ne présenteront jamais ni impossibilité ni indétermination; car le dénominateur commun des valeurs des inconnues est le déterminant du système

c'est-à-dire, au signe près, le produit (« — b]{a — c){b — c), et ne s'évanouira que dans le cas de doux racines égales. Excluant ce cas, nous observerons que le système des trois équations ne change point, de quelque manière qu'on permute a, b,c\ par conséquent, les coefficients a, ^, y sont des fonctions symétriques des racines, et s'exprimeront rationnellement au moyen des coefficients de l'équation proposée.

Le même raisonnement subsistant quel que soit le degré de cette équation, la proposition est complètement démontrée.

III. 11 ne sera pas inutile de donner, avant d'aller plus loin, quelques applications simples des considérations précédentes. Soit donc l'équation

ar^ — 5x''-h6x — i = o, et posons

Ja transformée en j, que nous savons à priori devoir être du troisième degré, s'obtiendra en effet comme il suit.

Déduisons ces deux relations de la proposée, en multipliant les deux membres sucxîessivement par x et x', savoir :

Xf = x^ — ^x"^ + 4'^> x''y — X* — 4 ■^ -<- 4 '^^ )

puis, en employant la proposition du paragraphe précédent, ramenons les seconds membres à des binômes du second degré , qui seront les restes obtenus en les divisant par x^ — Sx- ->t-&x — I . On parviendra ainsi aux trois relations

jr= x' — 4J7-+-4,

xy ^= x'' — 2 j: -H I ,

x^y—Zx^ — 5.r-i-i;

et en les écrivant de cette manière

jt' — 4'ï' -+- 4 — / = o,

on voit que l'équation cherchée s'obtiendra en égalant à zéro le déterminant du système

Or on reproduit ainsi l'équation proposée, savoir

INTRODUCTION. l3

d'où résulte que, si rt désigne une de ses racines, la quantité «' — 4^ + 4 sera pareillemenl une racine, mais non la même, car l'égalité a'— 4rt-+-4=^ donnerait les valeurs inadmissibles l'une et l'autre a = t, a=: ^. Maintenant on obtient, par la formule connue,

et l'on en déduit

ce qui doit se ramener à gb, en désignant par b une des deux autres racines, savoir :

e étant l'une des racines cubiques imaginaires de l'unité. C'est là un exemple de transformation, où un système de quatre radicaux cubiques se réduit à deux seulement, qui échappe tout à fait aux règles du calcul élémentaire.

IV. La proposition démontrée au § II fait voir que toute fonction rationnelle /(a:, j) de la variable indépendante et d'une racine de l'équation de degré n, F{x, y')=o, est toujours réductible à la forme

dont les coefficients sont rationnels en x. Mais c'est encore une autre forme, conséquence immédiate de la précédente, que l'on emploie dans une théorie importante du Calcul intégral. Multiplions et divisons f{x, y) par la dérivée, prise par rapport à j, du premier membre de l'équation proposée, il

viendra

iaj''-'-4-Pr-'-H...)F;(.r, r)

l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Or, en effecluanl au numérateur la mulliplicalion indiquée, on trouvera un polynôme entier en j, qui se ramènera, comme on l'a déjà vu, au degré n — i. Par suite, il viendra

G, H, . . . étant rationnels en x ; c'est la forme employée pour la première fois par Abel, et qui figure dans les travaux de Riemann, de MM. Clebsh et Gordan sur les intégrales de différentielles algébriques. En l'appliquant au cas simple de l'équation

nous en déduirons l'expression suivante

Gv/X+H -H

et nous observerons que la fonction rationnelle H étant décomposable en une partie entière, c'est-à-dire en termes tels

que «^*, et en fractions simples •, il s'ensuit que la

^ [x — ay-

partie irrationnelle de la fonction j\x,y) se trouve pareillement décomposée en éléments qui sont de ces deux espèces, savoir :

V/X [x-aYyJX Ce résultat nous sera utile par la suite.

V. Dans ce qui précède, nous n'avons considéré que la forme extérieure en quelque sorte des fonctions algébriques irrationnelles, nous allons maintenant faire un pas de plus, en nous limitant d'ailleurs à cette même expression

où je supposerai X un polynôme entier de degré pair im. Soit alors en décomposant en facteurs linéaires

INTRODUCTION. l5

nous tirerons de celle iransformalion bien simple, savoir :

\x — n J \j: — aj \x — aj

une conséquence imporlanle.

Posons, en effet, en iniroduisant une nouvelle variable,

ce qui donne

h —fit

nous en conclurons aisément h-a

V^ = (T^Tr v/Aa^-^-(« c)ty.\b-l-[a-i)tl

el l'on voit que le nouveau radical carré fonction de t ne renferme plus celle variable qu'au degré 2m— i. Posons donc pour un instant

1 = kt[b - e -[a - c)t]. . .[b - l -{a - l)t];

l'expression /(^, v'X), se transformant en celle-ci ^[b—at h— a /=\

pourra se représenter simplement par

<p désignant encore une fonction rationnelle de la nouvelle variable et du radical v^ï. La substitution que nous venons d'employer a ainsi pour conséquence de ramener une catégorie d'irrationnelles algébriques à une autre de même espèce, mais plus simple. Soit, par exemple,

/// = I et X = k[x — a)[x — b)\

alors T se réduira à A/, et l'on voit de suite qu'il suffira de poser /= 0* pour faire disparaître le radical et obtenir une fonction rationnelle par rapport à Q. D'où ce résultat important, que les irrationnelles dépendant de la racine carrée d'un

l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

trinôme du second degré deviennent de simples fonctions rationnelles par la substitution

VI. Ce qui précède donne le premier exemple du procédé analytique le plus fécond pour l'élude des fonctions, et qui consiste dans la substitution d'une variable à une autre. Ce procédé ouvre en quelque sorte immédiatement un vaste champ de recherches intéressantes, car on se demandera si la substitution employée tout à l'heure est seule propre à ramener l'expression considérée aux fonctions rationnelles, s'il n'existe pas de substitutions donnant le même résultat pour la racine carrée de polynômes de degré supérieur, ou permettant de ramener l'une à l'autre les racines carrées de polynômes de degrés différents. J'indique d'autant plus volontiers ces questions qu'elles peuvent servir à donner de l'étude des fonctions algébriques une idée plus précise et plus complète, et la première offrant l'occasion de montrer, jusqu'à un certain point, comment ce sujet est lié à un autre plus élevé, à la théorie des fonctions circulaires, je vais y répondre succinctement. A cet effet, j'envisage le radical \Jx''+ i qui exigerait, pour être rendu rationnel, la substitution imaginaire

Posons

0 = tang(j) et x = tang«'f ;

on sait par la Trigonométrie que x sera exprimable rationnellement en 0 si n est un nombre entier; j'ajoute que, si ce

nombre est pair, le radical \Jx^ + i = sera également

cos ncf °

rationnel par rapport à 9. Dans ce cas, en effet, cosncp qui est un polynôme entier en COS9, ne renferme que des puissances paires de cette quantité; or cos'(p= — -ûi'de sorte que ces 719 est bien alors rationnel en 0. Soit, pour fixer les

IISTRODUCTIOX.

dées, /!= 2, on aura

X = rr et COS'2? = 2 COS ¥ — I = T,

d'où

V^jr'-t- I

pour M = 4» 'si relation

i-60='-+-0* donnerait

De celle manière, on est donc parvenu à des substitutions débarrassées d'imaginaires, et en nombre infini.

VIF. Mais complétons ce qui précède, en voyant ce que donnerait l'hypothèse de n impair dans la substitution

X = tang{«arc tangO).

Alors on sait que cos/19 ne contiendra que des puissances impaires de coso (*), de sorte que l'on peut écrire, en désignant par F un polynôme entier,

cos//» ~ coss-Ffcos'?) — --- — . f( jr. )•

Par conséquent

/(O) étant une fonction rationnelle; de sorte que la substitution employée reproduit en 0 précisément la même irrationnelle algébrique que l'on avait en x. Soit, par exemple, « = 3, alors

C083«p = C0S'î'(4 cos'œ — 3)

(*) On a en général (Lacrange, Leçons sur le Calcul des fonctions, p. 1 19) ; , V ■ " , , , nin — 3 ) , ^ .

2 COS« 5? = ("2 COSp)" {1 COSp)""' -I (JCOSJ))""' — ...

, ..nin — /' — i)''/j — I — i^-.An — 21-+-O, .„ ,,

^(—i\i-i '. J. !: .■'(3coss,"-"-H...

f» Partie. 2

l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et la formule de subsiiluiion étant

.s 30-6' x = tang(3arc tang9) = -y^z~^^

on aura

Ce résultat met en évidence un caractère algébrique remarquable des formules relatives à la multiplication des arcs dans la théorie des fonctions circulaires. En voici un autre de même nature : posons Q = sin<f et ^ = sin/îcp; on sait que, n étant encore un nombre entier impair, x sera un polynôme entier en B du degré w (*). Or l'égalité employée tout à l'heure, savoir :

COSntf = COStp F(C0S'(ï'),

conduit à cette conséquence

Pour n = 3, par exemple, la relation entre se et 9, savoir :

x= 39 — 4&^ donnera

La question suivante, qu'on est maintenant conduit à se poser, fera pleinement ressortir les rapports des questions algébriques concernant l'étude des radicaux carrés, avec la théorie des transcendantes.

VIII. Soit proposé d'exprimer x par un polynôme en 6, de manière à avoir

T étant de même rationnel et entier en 6.

Je dis, en premier lieu, que les polynômes x et T sont premiers entre eux, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas s'annuler à la fois pour une môme valeur de 6. En efï'et, l'équation pro-

(*) Ce polynôme s'obtient en changeant p en ç, dans la formule de la

note précédente.

INTRODUCTION. ig

posée montre que, pour T = o, on a

Désignons, en second lieu, les degrés de x el T par n el m, de sorte qu'en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de 0 on ail

j:= AO"-f-..,, T^BÔ-^H-..,;

on trouvera, en substituant dans l'équation proposée, élevant au carré et égalant dans les deux membres les termes du degré le plus élevé,

et l'on en conclut

Cela posé, prenons, par rapport à Q, les dérivées des deux membres de notre équation

I — x*= (i — Ô')T'; il viendra, en supprimant le facteur 2,

- xx^ =- (1 - ô^")!!'- er = T[(i - e-')T'- ot],

d'où l'on voit que le polynôme ï divise le produit xx\ . Mais on a établi qu'il est premier avec x, donc il divise l'autre facteur arj . On a aussi établi qu'il est du même degré que x\ , par conséquent le quotient est une constante k, et si l'on égale dans la relation

x^ = kl

les termes du degré le plus élevé en 0, on trouvera

«Ae"-'-±XA9"-';

donc h =^±n, et la relation proposée devient en conséquence celle-ci :

Il n'y figure plus, comme on voit, que le seul polynôme ar, avec sa dérivée par rapport à 0, et alors en l'écrivant sous cette

forme

on reconnaîtra dans chaque membre les dérivées de deux fonctions connues de B. Si l'on choisit d'abord le signe + dans le second membre, il viendra en remontant aux fonctions primitives

arc sinj: = « arc sinô -t- C,

si l'on prend le signe —, on aura

arc sinjr = n arc cos9 -f- C,

C éiant une constante; de sorte que tous les polynômes entiers en 0 satisfaisant à la question sont compris dans l'une ou dans l'autre de ces formes :

an — sin(rt arcsinS + C), X = sin(// arccosQ h- C),

et une discussion facile montre que toutes les expressions entières qu'on peut obtenir sont renfermées dans celle-ci :

cos(« arccosS),

n étant un entier quelconque (*).

Cette expression, suivant que n est pair ou impair, conduit aux deux suivantes: cos(Aiarc sin0) et sin(n arc sin0); d'où l'on voit que les polynômes auxquels nous conduit la solution de

la question algébrique; en y posant 0 = -i donnent pour n

infini les fonctions de la Trigonométrie élémentaire, cosx et

sinx; car on sait que limlAiarcsin '-\^=x, i)Our nz=z<xi .

(*) Ces polynômes en d que l'on a rencontrés en Trigonométrie s'offrent dans un grand nombre de questions d'Analyse, et possèdent beaucoup de propriétés très-remarquables : l'une de ces propriétés les plus singulières, et que je puis indiquer ici à cause de son caractère élémentaire, consiste en ce que cos (/< arc cos 6) représente, parmi tous les polynômes en Q de degré n, celui qui est le plus voisin possible de zéro, entre les limites — i et -h i de la variable 0. (Bertrand, Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, t. I, p. 5i6.)

INTRODUCTION. Il

IX. Je terminerai ce que je me suis proposé de dire sur la nature et le but des études relatives aux fonctions algébriques, en ajoutant encore quelques mots sur les racines carrées des polynômes du quatrième degré. Il n'existe plus alors de substitutions qui puissent, comme précédemment, les ramener aux simples fonctions raiionnelles; et le point de départ des recherches si importantes auxquelles donnent lieu ces expressions consiste dans l'étude des substitutions raiionnelles de la forme

où U et V sont deux polynômes en 6, qu'on peut supposer sans facteurs communs, savoir :

U = a -+- a'ô ^ a"Ô' + . . . -H aC) G'',

et tels que ^Àx* ■+■ Bx^ ■+- Car' + hx 4- E reproduit un radical semblable y/aô' + hQ' -h cô' -+-dô + e multiplié par une fonction rationnelle de 0. Cette condition exige que l'on ait

AU' -<- BU' V -f- CU'V -+- DUV^ -+- EV = [nd* -h ÙO' -^ rO' -^ dO -h c) V,

T désignant un polynôme entier; or on va voir que de là résulte la relation suivante, où /» est une constante, savoir :

UV — VU' = /T.

Observons d'abord que T est le produit de tous les facteurs en 6 qui sont élevés au carré dans le premier membre de l'équation précédente. J'ajoute qu'en faisant pour un instant

A^* -h B.r» ■+- Cr' -^ Dx-^ E = A (.r - a) (x - fi) (JT - 7) (x - S),

d'où

AU* -H BW\ -h CU'V ^ DUV^ -+- EV

= A(U — aV){U-^V)(U-7V)(U-(îV),

tous les facteurs doubles des divers polynômes U — aV, U — (âV,. . . appartiennent à l'expression UV — VU'; car on ' a identiquement, par exemple,

(U-a\)V'-(U — aV')V=UV'-VU',

a2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et comme un facteur élevé au carré dans U — aV divise ce polynôme et sa dérivée (U— aV)', il divise bien en effet UV — VU'. Or T est précisément formé du produit de ces facteurs doubles, son degré en 0 est 2;? — 2, et le degré de UV'— VU' ne peut surpasser cette limite, de sorte que le