i) ax

III. La formation des équations différentielles s'offre sous un nouveau point de vue dans la question suivante :

Étant donnée une fonction contenant n constantes arbitraires A, B,..., L, obtenir une équation différentielle à laquelle elle satisfasse, quelles que soient ces constantes.

Posons

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. VI, p. 69.

puis

rélimination de A, B, ..., L entre ces n + i équations donnera une condition de la forme suivante

Y dy d"r\

Ce sera l'équation différentielle cherchée, et nous dirons qu'elle est du w"'"' ordre, pour rappeler l'exposant le plus élevé des diverses dérivées de j qui y figurent. L'étude de ces relations est un des principaux objets du Calcul intégral, et, plus tard, on établira qu'entre certaines limites de la variable indépendante toute équation d'ordre n admet une solution dont l'expression la plus générale renferme n constantes arbitraires. Cette proposition donne ainsi le moyen de fformer à priori des équations différentielles dont on a la solution complète, et en voici un exemple aussi simple qu'important. ' ^

Soit I

j = Ae"' 4- Bc*' + . . . 4- Le'% f

OÙ a, 6,..., /sont des quantités déterminées; l'élimination de A, B,..., L entre celte équation et les suivantes

vÇ = Aa=e'"-*-B6^e*'-f-...-i-L/=<;'', dx^

^ = A(^(f''-hBb''e'''-h...-i-Ll"e'% dx" '

s'effectue en considérant cette combinaison, où p, ^,..., s

sont n facteurs indéterminés, savoir

-hL{l''-hpl''-'-i-rjl''''-h...-hs)e".

En effet, si l'on pose, pour un instant,

/( j:) = x"-f- /jj:"-' H- 7 x"-' -(- . . . -h i,

le second membre devient

et A, B,..., L disparaîtront en déterminant;?, q,..., s par les conditions

/(«)=o, /(i) = o,..., /(/)=o, qui donnent sur-le-champ

IV. Une autre forme analytique conduit à un calcul tout semblable, c'est l'expression

y=X(x-a)'"-hB{x-bY'-\-...-hL{x-l)'",

d'où l'on tire, si l'on fait, pour abréger,

nij = m[ni — i), m^ = m{m — i) [m — a), . . . ,

— ^ =A{x-a)'"-'-hB(x — br-'-i-...-i-L[x-l)'"-\ m dx ^ ' ^ '

— ^ = A-fx-a)"-"-!- B(a: - è)'»-''^-. . .H- L(x - /)"•-". m^ dx* \ I \ I

En posant, en effet, comme tout à l'heure,

ai4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

el employant ces ideniilés, savoir

/«(arjj

j'en déduirai la combinaison

w„ t/o:" /»„, dx"~^ 1.2 /w„j ^/^-""^^ *" 1.1... n = Af{a){x-a)'"-''-i-Bf{b){x-b)'"-"-i-...-hLf{l){a:-l)'"-".

Or on voit que A, B,..., L disparaîtront encore dans le second membre lorsqu'on prendra

de sorte qu'en multipliant par le facteur

m^—m[m — i)...[m — « -+- 1), nous obtenons pour l'équation différentielle cherchée d"y m — « -f- 1 -, d"-^y

dx"

{m — n-hi}(m — n-+-'i) j.„.^ d^y

dx'"'' + (,)» V ii___ i fw{x)y=^o;

ou encore, si nous posons, pour plus de simplicité, m — « H- I = — ^, r, ^d'y u. r,, .d^-'y p(u — i) „, .d^-^y

+ fi(fiZli)lllifiZ=A±il/(") ^a:)y = o.

APPLICATIONS ANALYTIQUES. 2l5

Équations aux différences partielles.

I. C'est à l'égard des fondions de plusieurs variables que se présente la question de la formation des équations aux différences partielles, c'est-à-dire des relations entre une fonction z, les variables ^, /,..., et les dérivées partielles des divers ordres -r-1 -ri -1 — ' -, — !-»•••• Considérant d'abord dx dy dx^ dxdy

deux variables seulement, le premier point de vue sous lequel nous l'envisageons est celui qui s'offre dans l'étude des cônes, des cylindres, des surfaces de révolution, etc. C'est en effet la définition géométrique d'une famille de surfaces par un certain mode de génération qui conduit à définir analytiquement une fonction z de :c et 7 par le système de deux équations

OÙ entrent un paramètre variable a et un nombre quelconque n de fonctions arbitraires de a, représentées par A, 6, ..., L. Obtenir une équation aux différences partielles, à laquelle satisfasse la fonction z, quels que soient a et ces n fonctions, sera donc la question analogue à celle qui nous a précédemment conduit à la formation d'une équation différentielle ordinaire d'ordre n.

A cet effet, j'observe en premier lieu que les relations données permettent de considérer x Qi y comme des fonctions de z dont les dérivées successives

, dx d^x , dr „ d^Y

s'obtiendront, soit directement si l'on peut avoir a: et/ explicitement exprimés en z, goil par les règles relatives aux

2l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

fonctions implicites. Dans ce dernier cas, nous aurons d'abord

puis (3)

^ x"-\--^y"-h dx ''^^ "^

dy dy

dx' d'^ dx dz "

d<if dz

dxdy

dydz

dz''

-p ;c"4- -ji r"-+- -r-î j: -H 2 , , dx dy dx^ dxdy

d'-if ,, d'if . r/^p

-^ -ri7 +-7— r-^ -+- -1—7dy^"^ dxdz dydz

dz'

et ainsi de suite.

En second lieu, je remarque que

étant la fcmction qui résulte de l'élimination du paramètre a, on reproduira identiquement la quantité z si l'on y remplace 0? et j par les valeurs qu'on tire de la résolution des équations (i), car autrement ce serait de deux relations conclure une troisième qui en serait distincte. D'après cela, et envisageant X et j comme fonctions de z, la première dérivée de l'identité obtenue donnera l'égalité suivante

dz , dz ,

la seconde et la troisième celles-ci

cPz dx^'

dz ,„ dz „, ^Vd'z , , dx dy' [,dx'

dH dxdy

dy'

rPz dx''

dxdy' -^ dy^

les quantités x', x", x'" , y', y" , y"' devant être remplacées par leurs valeurs en fonctions de z, ou éliminées au moyen

des relations (2), (3), etc. En conlinuant les mêmes calculs jusqu'à la dérivée d'ordre n, on parviendra à un système de n équations où les dérivées partielles de l'ordre le plus élevé seront évidemment

(P'Z ffz rP'z

djc'^ fix"-'fiy""' 7^''

et, en y joignant les deux relations proposées, il sera possible

d'effectuer l'élimination du paramètre a et des n fonctions

arbitraires

c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux différences partielles d'ordre n. Dans le cas le plus simple de n = i, lorsqu'il n'existe qu'une seule fonction arbitraire, celte équation aux différences partielles s'obtient immédiatement en résolvant par rapport à a et A les équations

Ayant en effet

il ne restera plus trace du paramètre ni de la fonction arbitraire dans les relations (2) qui deviennent

ilx'

~dy

dx dy^ dz

et le résultat de l'élimination de x' et/' entre ces équations et l'équation (4) est immédiatement donné en égalant à zéro le déterminant

dz'

rf*

flW

2l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.