II. Soit, pour premier exemple, les équations

X = mz -+- a, / = «z -I- A,

qui représentent la génératrice d'un cylindre, nous aurons

dz dz

dx dy

l'équalion aux différences partielles des surfaces cylindriques est donc

La ligne droite

dz dz

dx dy

x — x^=a.[z — z^], 7-j, = A(z-zJ,

est la génératrice d'un cône; on trouve alors:

dz dx

et, par conséquent, pour l'équation aux différences partielles des surfaces coniques,

Les surfaces de révolution sont engendrées par la circonférence

ax -t by -+- cz = A,

ce qui nous donnera

dz ,

et par conséqnenl l'équalion aux différences partielles

Les conoïdes enfin ont pour génératrice la ligne droite

X — mz — p — a [y — nz — q)= o, ax -{- by -h cz= A,

qui se meut parallèlement au plan fixe ax -h by -\- cz =:o, et rencontre la droite

X = mz-h p, y z= nz -h q.

L'équation aux différences partielles se présente donc sous la forme

(x - /nz -/?) 1^- (n^» -+- c) ^ -+- «« ^ -H «J

-+- (r - « z - 7) ["«^ ^^ - ( "'« -^- ^) ,/j -+- *J = o. qui devient plus simplement

lorsque le plan fixe est celui des xy,

IH. La Géométrie donne encore d'autres exemples qui conduisent à l'élimination de deux et de trois fonctions arbitraires. Soient, en premier lieu, les équations

X — mz — p = k[z — a.), y — «z— <7 = B(z — a),

représentant une droite qui rencontre dans toutes les positions

220 CALCDL DIFFÉRENTIEL.

la droite fixe

X = mz -^ Pi y =: nz -\- q.

Nous trouverons d'abord

et, observant ensuite que

[y — nz~ q) A. — {x — wz — /?)B = o,

nous en conclurons

et, en éliminant 5-»

{y — nz—q)x' — [x — mz—p)y'=m{y-q)—n[x — p), ou bien

vx — uy' =^ (r,

si l'on pose, pour abréger,

11 = X — mz — /?,

V=r.y—nz-q,

IV z= ,n[y—q) — n[x — p).

Ayant d'ailleurs

dz , dz , -j-x'-\- -7- r = I,

dx dy' '

il en résulte ces valeurs

dz dz

dz dz ^ dz dz

dx dy dx dy

et l'équation (5) de la page 216 donne l'équation aux différences partielles

dH dx""

d'z f dz \{ dz \ dHi dz y ''7ûTy["-^7ryVV-7Ô^V-^7ôr\'-diV =

Elle se simplifie si Ton suppose m = o, p = o, n=zo, q =o, de sorte que la droite fixe soit l'axe des z, et devient

(Ijc* dxdy ^ dy'* ~

Les surfaces gauches à plan directeur ayant pour génératrice

la droite

(IX ■+■ bf-h cz = a,

x = Az-f-B, parallèle à un plan fixe

ax -h bf H- cz = o,

conduisent au calcul suivant.

Nous aurons d'abord

ax'-h bjr'-i-c = o, x'= A, puis

de sorte que l'équation (5) devient

dx' dxdy -^ dy^-'

Cela étant, les deux relations

, , , dz , dz ,

ax + by'=-c, ^^x^^y=i

donnent

, dz az

b-h c-yc a-h-r-c

dr , dx^

, dz dz , dz dz

dx dy dx dy

et l'on en conclut, pour l'équation aux différences partielles,

dH{, dz \ dPK^-^Ty')

- -^(b —c\(a —c\ —la-\- — X=o dxdy\ dy )\ dx J «(t* \ ^^^ /

Lorsque le plan directeur est le plan des yz, il faut suppo-

d*z ser b = o, c = o, et l'on a simplement ^-^ = o ; résultat évi-

dent à priori, l'élimination de a donnant pour z un binôme

du premier degré en j.

Ce sont enfin les surfaces réglées dont la génératrice a pour

équations

j^=Az-i-B, j=az-»-C,

qui serviront d'exemple d'élimination de trois fonctions arbitraires. Or, ayant dans ce cas

les équations (5) et (6) de la page 216 donnent sur-le-champ

dx'^ a? dxdy a dy'^ ~ '

d^^\ ^ d'z A' ^ dH A dH dx^ a.' dx^dy a? dxdy^ a dy^ '

de sorte qu'en faisant pour un instant d^

!± // li'z y dH d^z

dy Y \dxdyj dx"^ dy^

dx'

l'équation aux différences partielles du troisième ordre sera

dx^ dx^dy dxdy^ dy^

IV. La considération des surfaces enveloppes, où s'offre un mode de génération entièrement différent des précédents, conduit en Analyse à définir une fonction z de ^ et / par deux équations contenant un paramètre variable a, et dont l'une est la dérivée de l'autre par rapport à ce paramètre (page 196). En désignant de nouveau par A, B,..., L, n fonctions arbitraires de a, ces conditions s'expriment ainsi :

df{x,y, z, g, A, B,..., L)^

et nous nous proposerons encore de former, entre la fonction et les variables indépendantes, une équation aux diiîé-

rences partielles qui subsiste quelles que soient ces fonctions. A cet effet, je conçois que x el x soient déterminés par les équations (i) et {2) en fonction de z, de manière à avoir toujours les relations obtenues page 216:

flz , riz ,

dz „ dz „ d^z ,j d^z , , d'z ,.

dx dy' dx^ dxdy "^ dy^-' '

mais je procéderai différemment pour calculer les dérivées

, dx , dy , /,

x'z=-j-i j'=-^,..., en mettant a profit une circonstance

importante qui s'offre lorsqu'on veut tirer de ces équations les dérivées partielles j— et jy-" Différentiant pour cela

la première par rapport à x, en supposant a fonction de x, y,

z, il vient

df^ df(lz (£(l^ dx dz dx dx dx '

OU simplement, d'après l'équation {2), df 4fdz

dx dz dx~ '

et l'on obtiendrait de môme

df ^|^

dy dz dy

Or nous n'avons plus dans ces relations les dérivées des fonctions arbitraires par rapport au paramètre, et nous en tirerons les quantités cherchées x' , j',... exprimées au moyen seule-

dz ment de A, B,..., L, en observant que -t-» par exemple, étant

une fonction entièrement déterminée de x et/, que j'appellerai pour un moment Q{x, y), on aura

rf9 r/9 , d^ , dz dx dy

2^4 GALCCL DirrtlK5TIEL.

d'où l'on voit qu'on devra écrire

et pareillement

(Pz

dxdy

dH , djcdy dj*^

D'après cela, en représentant les dérivées partielles du premier et du second ordre par p, q, r, *, /, comme page 79, aOn d'abréger l'écriture, nous aurons, pour déterminer x' eij''» ces deux équations

^ / d'f ^, ^ \dxdz

tlxdz d\f

dxdy dy

, / d'f ^ \dxdz

dydz

d'f dydz

|(rxV.r')=o,

dydz

d'f\ df , ,

et il est clair qu'en continuant de différenlier par rapport à z, on formera de proche en proche les dérivées de x et y jusqu'à un ordre quelconque « — i, avec celle circonstance que les dérivées partielles de z jusqu'à l'ordre n seront introduites dans leurs expressions. Il en résulte qu'en les substituant dans les relations (4), (5), (6), etc. de la page 216, on sera conduit à un système de n équations entre ces dérivées partielles et les quantités a, A, B,..., L. Nous pouvons donc, en y joignant celles-ci,

f[x, y, z, a, A, B,..., L)=o, df df df df

dz'

dy dz

effectuer l'élimination du paramètre et des n fonctions arbitraires; c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux différences partielles d'ordre n. Nous allons en faire l'application à deux exemples tirés de la Géométrie, après avoir re-

marqué que les équations ci-dessus, en x' et j', jointes à la relation (4) de la page 216, savoir

px'-\-qjr'—l= O,

donnent, par l'élimination de x' et f' , la condition A = o, A étant le déterminant du système suivant

r/Y d^f df ^'' dx' • dxdzP'^ r/z'"'

d\f d\f df dxdy dxdz * dz

d^f d'f df '^' dxdf ' dydzP'^ dz''

d\f d\f df dy^ dydz ^ dz

d^ f d\f '» dxilz ' r/s^^'

d\f d\f dydz ' dz^"^

Mais, si l'on ajoute aux termes de la première et de la seconde ligne horizontale ceux de la troisième, multipliés d'abord par/? et ensuite par q, on aura plus simplement

en posant

, d'f d'f d'f . df

'^=dp-^^7û7rz^'-^dr^f'-^-dz''^ d\f d\f d\f d\f df

'^'' = d^y^7fyTzP^i:^'J'^-d^l''J-^dz'^

d\f d\f d\f , df ^ ^^ip^^dyd-z'i^Th'i-^tz''

V. Nous considérerons en premier lieu les 5?///rtce5</et'e/o/?pables, enveloppes des positions d'un plan mobile

z -f- X j: -f- Xy -f- B = o,

et nous aurons immédiatement

X = r, iS\a — s, O = t\

d'où, par conséquent, l'équation aux différences partielles du second ordre

s"^— rt = o,

déjà obtenue par une autre voie, p. 197.

Soit, en second lieu, les surfaces canaux, enveloppes des positions d'une sphère de rayon constant

{x-Xy-^{y^BY+{z-uy=a\ 1»« Partie. l5

dont le centre décrit une courbe quelconque. On obtient

alors

\M\>= prj -^(z-a)5,

et le paramètre a s'élimine au moyen des relations

qui donnent, en substituant dans l'équation de la sphère,

sj l -\- p'^ -^ q^

On obtient ainsi l'équation aux différences partielles du second ordre

a'(^' — rt)— «[(i-f- q'']r— 7.pqs -h [l-h p'')t'\\/i -h p'-+- (f

La relation générale dont nous venons de faire usage, à

savoir

ift>

peut encore se démontrer très-facilement comme il suit. Je reprends, à cet effet, les deux équations

^{x,y, z, a) = o, ^î/(x, jr, z, a)= 0,

pour les différentier successivement par rapport à ^ et j, en supposant que le paramètre variable tiré de l'une d'elles en fonction de x, y, z, ait été substitué dans l'autre. Or on obtient ainsi

dv^ d'^ d(f dx

dx dz ' doL dx ~ '

dy dz ■' r/a dy

d-h d-h J\L doL dx dz ' dot. dx

d-h d-h d-h dx dy dz ^ dx dy

et, en remarquant que le déterminant

r/ip dx r/tp dx

dx dx dx dy

d-^ dx dy^ dx

dx dx dx dy

s'évanouit, nous en concluons la relation suivante

dx~^ dzP'

dra do dy-^iz'i

Cela posé, prenons en particulier

^ df df

on en tirera immédiatement d^'*' dz^~ dx''^^ dxdz P

dif d<f dy dz

TTz'

dx dH . d^

dxdy dydz ^ dxdz

d'f d'f df

(i^ dif^ ^ f/'/ ^ d\f dy dz ' ~ dy'' dydz

dz' '

et, par suite, ï'équation cherchée

VI. Nous ne nous sommes occupés jusqu'ici de la formalion des équations aux différences partielles que dans le cas d'une fonction de deux variables. Considérons mainlenani, par exemple, une fonction u de x, y, z, en la définissant par ces trois équations, où entrent deux paramètres a, [3 et un nombre quelconque n de fonctions arbitraires A, B, ..., L de ces paramètres, savoir :

? ( X, jr, z, u, X, p, A, B, . . . , L) = o, •^(x, y, z, u, a, p, A, B,..., L)=o, 0{x,y, z, u, a, p, A, B,..., L) = o.

L'élimination des fonctions arbitraires s'effectuera par la même méthode que précédemment, et donnera pour résultat

une équation aux différences partielles d'ordre ?i. La même conclusion s'obtiendra aussi en considérant les relations

f{x, j, z, u, ce, p, A, B,..., L)=: o,

mais elle n'a plus lieu si l'on pose seulement deux équations avec un seul paramètre variable, savoir

car alors on peut former une équation aux différences partielles d'ordre n, représentant le résultat de l'élimination d'un nombre de fonctions arbitraires supérieur à n et égal à

—^ — — • Et quand le nombre des quantités A, B,..., L n'est

point compris dans cette formule, par exemple lorsqu'on le prend égal à 4, de sorte qu'on ne puisse pas obtenir une équation aux dérivées partielles du second ordre, on parviendra, en introduisant les dérivées du troisième ordre, à plusieurs relations distinctes au lieu d'une seule. C'est là une circonstance que présente souvent l'élimination des fonctions arbitraires, et je vais en donner un exemple en considérant l'expression

oùFi(m) et F2(c) sont deux fonctions arbitraires de u eiv, qui sont des fonctions déterminées de x et j. Qu'on forme, en effet, les dérivées partielles du premier et du second ordre de z, on obtiendra six équations où entrent les quantités

dont l'élimination ne sera pas possible, en général. Mais, en s'élevantaux dérivées partielles du troisième ordre, on ajoute quatre équations en introduisant seulement deux nouvelles quantités Fi"'{u), F/'(a), de sorte qu'il deviendra possible de former autant d'équations du troisième ordre qu'il y a de manières d'éliminer huit inconnues entre dix équations. On doit

JirPLICATIONS ANALYTIQUES. 229

donc avoir en vue principalement les formes analytiques où l'élimination des fonctions arbitraires donne lieu à une conclusion précise, à une seule et unique équation aux difîérences partielles, et j'indiquerai encore celle d'Euler, savoir

z= F,(x-f-rtj)-+-F,(x-f-é7)-+-.. .-h ¥„{x ■+■ Ijr).

En faisant

on trouve facilement

rf/" "^ P dxdf'-' "^ '^ dx^dy"-^ "^ • • • "^ * r/a:» ~ °'

Ainsi, par exemple, l'expression

z = F, (x -+- aj) -(- F, ( JT — <//)

satisfait à l'équation

d*z , dH

dy^ «x' t

qui s'offre dans d'importantes questions de Mécanique et de Physique.

Remarques préliminaires sur la notion d'intégrale définie.

Les applications du Calcul infinilcsimal à la Mécanique et à la Physique conduisent, comme la Géométrie nous en a précédemment donné des exemples, à des équations différentielles ordinaires et aux différences partielles. Obtenir les fonctions^ satisfaisant à ces équations constitue une question importante autant que difficile, qui est l'objet du Calcul intégral. Cette nouvelle partie de l'Analyse présente ainsi, avec l'Algèbre, dont le but est la résolution des équations, une analogie dont j'indiquerai succinctement quelques caractères. L'existence même des racines, comme quantités réelles ou imaginaires, est le premier point à établir dans la théorie des équations algébriques, et l'étude des équations différentielles s'ouvre de même en démontrant que, sous certaines conditions, il existe, pour une suite de valeurs de la variable, une succession déterminée de valeurs de la fonction inconnue, qu'on peut obtenir au moins numériquement, quand on ne sait point former analytiquement l'expression de celle fonction. L'Algèbre se propose ensuite de résoudre les équations par radicaux, ou de reconnaître l'impossibilité de ce mode de résolution, et cette recherche, en faisant découvrir la diversité de nature des racines des équations, a conduit à les définir et les classer, résultats importants qui sont le principal intérêt de celle science à notre époque. Or le Calcul intégral a de même pour but d'obtenir les solulions des équations différenlielles

d'une espèce analytique donnée, ou de démontrer qu'il n'en existe point de telles; et, dans le petit nombre de cas où elle a pu être abordée, cette étude a été féconde en conséquences. Elle sert, en effet, de voie naturelle pour arriver à concevoir, dans son sens le plus général, la notion première de fonction telle qu'elle s'offre dans l'Algèbre, pour reconnaître et caractériser divers modes d'existence des fonctions, et enQn pour conduire à l'origine d'une infinité de transcendantes, constituant, par leurs propriétés, de nouveaux éléments du calcul, qui agrandissent le champ de l'Analyse, et ajoutent à sa puissance.

La recherche des fonctions ayant pour dérivée une fonction donnée, dont nous nous occuperons en premier lieu, est, à cet égard, d'une importance fondamentale; voici les premiers principes sur lesquels elle repose.

I. Nous avons précédemment établi, p. 99, que l'aire de la courbe 7 =/(^), rapportée à des coordonnées rectangulaires et comprise entre l'axe des x, deux ordonnées correspondant aux abscisses Xo, et x, et l'arc de la courbe, est la limite de la somme

lorsqu'en supposant x = x^ + ndx, on fait tendre dx vers zéro, en augmentant indéfiniment le nombre entier n. Cette

f{x)dx et constituant

ainsi une quantité entièrement déterminée lorsqu'on donne Xg et X, a reçu, comme on l'a dit, le nom d'intégrale définie de f{x)dx, prise depuis a?» jusqu'à x, et sa propriété fondamentale est d'avoir pour dérivée, par rapport à x, la fonction f[x). Celte notion d'intégrale définie obtenue si rapidement, et par les considérations les plus élémentaires, serl de fonde^ lïientau Calcul intégral. Nous allons la compléter par les remarques suivantes.

Rappelant d'abord qu'on a essentiellement supposé la fonction/(^) réelle et continue, je dis en premier lieu que cette

condition de conlinuiié entre les limites de l'intégration n'est pas nécessaire. Considérons en effet [fg. 25), à l'égard de

deux courbes différentes

es segments contigus

AMNB

Jr»OB OA /»0C

BrQC=/ fA^)dx.

Job