OC
sion / f{x)dx, dont la signification reçoit ainsi l'extension annoncée. On aura pareillement la relation plus générale
f''"f{x)dx= r"^'/.(.r)r/j;+ Ç ''\f^[x)dx + . . .^ f''\lXx)dx,
lorsque la fonction/(a:) coïncidera successivement a\ecfi{x), /,(a;),...,/„(^) pour les valeurs delà variable comprises entre les intervalles de x^ à Xi, Xx à Xj,..., Xn-, à x„. Bientôt nous aurons l'exemple, qui s'offrira de lui-même, d'une expression analytique passant brusquement d'une suite de valeurs à une autre, et une théorie importante de Calcul intégral a précisément pour objet de donner l'expression de /(^) à l'aide de séries ou d'intégrales définies; mais, pour plus de simplicité, voici, en revenant au cas de l'aire AMNB + BPQCla remarque qu'il importe maintenant de faire. En supposant OA fixe et OC variable, on a la définition géométrique d'une fonction qui est manifestement continue, puisque l'accroissement de l'aire, môme dans le voisinage de la valeur x = OB, décroît indéfiniment avec l'accroissement de la variable; or elle a pour dérivée une fonction toujours finie, mais discontinue.
C'est un premier exemple montrant combien les fonctions auxquelles donne naissance l'opération nouvelle d'intégration diffèrent de celles qui ont été envisagées jusqu'ici, et qui sont données par les éléments.
II. Une autre remarque sur la notion d'intégrale définie a pour objet le cas où la fonction /(^), au lieu d'être constamment positive entre les limites ^o et x, présente plusieurs alternatives de signes, de sorte que, par exemple, /(^) ail le signe -r de .To à Xt, le signe — de Xi h x^, et le signe + de x^ à X. On conviendra alors de poser
/ f{x)dx^ i 'f{x)dx-\- i y{x)dx-h- / f[x)dx,
et il est évident qu'en étendant de cette manière la première signification de l'intégrale définie, elle restera toujours la limite de la somme
|/(j:J+/(x-f- dx) -h. . .-+-/[-r„-f-(« — i)dx]]^dx.
D'autre part, on a aussi admis que la limite supérieure x
surpassait la limite inférieure : la considération de la somme
des éléments permettra encore de supprimer cette restriction.
Ayant en elfel
X — x^-+- ndx, d'où
on peut, en lui ajoutant le terme évanouissant /( a; )c?^, l'écrire ainsi
Or, en renversant dans la parenthèse l'ordre des termes, ce qui donne
on voit qu'on a ainsi permuté les quantités x et Xo sans changer leur somme, mais alors le facteur change de signe;
et nous en conclurons, en faisant croître n indéfiniment, la relation
qui étend la notion de l'intégrale définie au cas de x<iXi.
Si l'on connaissait sous forme explicite une fonction ^[x) ayanlfix) pour dérivée, ce résultat serait évident. Sachant en effet que deux fonctions dont les dérivées sont égales ne peuvent différer que d'une constante, on peut écrire
Faisant, dans cette égalité qui a lieu quel que soit ^, x = Xn le premier membre d'après sa signification même sera nul, et l'on aura
o = çp(x.)-t-C, d'QÙ C = -î>(x,),
et, par suite,
f(x)(lx=^{x) — <f{x,),
expression de l'Intégrale définie qui change évidemment de signe quand on permute les limites.
Nous remarquerons enfin qu'en supposant /(;r) imaginaire et réductible à la forme /«(jc) -f- v^^^/,(^), où les fonctions f»{x) eift{x) sont réelles, on adoptera l'égalité
rf{x)dx= r f^[a:)dx + s/^i H f,{x)dx,
et si l'on connaît une fonction
?(^) = ?.{-^)-HV/^?,(^),
telle qu'on ait
«p'(^)=/(x), et par conséquent
on en conclura
Calcul imégral.
f[x)dx= 1 (f\ [x] dx -i- \/ — i l (^\{x)(lx
et, par suite,
Jr-»X f{x)dx=^[x)-^[x^),
comme pour les fonctions réelles.
III. Pour donner une application de la remarque précédente, soit
f{x) = {x-a)'" et y(^) = l^-=l^ni;
m -hi
on aura, non-seulement pour des valeurs réelles de la constante a, mais en supposant a = a -H (3 y** — i ,
et on en conclut, par suite.
/ (x — a)'"dx = ^ '— -f- C.
Cette relation présente, pour m=— i, un cas d'exception donnant lieu à une remarque importante lorsque a est imaginaire, comme on l'a admis, car autrement on sait déjà que l'on a
/dx = \os{x — a) -+■ C.
Considérons, en effet, l'expression générale des logarithmes des quantités imaginaires obtenue précédemment, p. 36, et qui donne, en supposant a: réel,
]og{x — a. — p v/— l) = \o^^[x — ocf-hp^ -h (^H-aZ-T:) /^,
l'angle cp étant déterminé par les deux conditions
cos^,
^{x — xy-hp^ x/{x-uy-hp
= sin^,
et, par suite, renfermé dans l'expression
arc lang
X — a ou encore dans celle-ci
Tz X — a
- -i- arc tang — -r — a p
On tirera de cette égalité
</log(.r — g — ^y/^) x — <x dy j — -
dJc [x — o^f -hp' dx"^
L'expression des logarithmes des quantités imaginaires, telle que nous venons de la rappeler, permet donc de poser
dx
= log(j:-a-f5/^)-(-C;
or ce résultat, joint au précédent, dans lequel je change m en — m, savoir
dx I „
suffit pour obtenir l'intégrale de toute fonction rationnelle de X. Une telle fonction est, en effet, la somme de termes entiers comme Xx", et de fractions simples de l'une ou l'autre
de ces deux formes -, -' — — > la quantité a étant réelle
[x — af X — a
ou imaginaire. Employant donc cette proposition, évidente d'elle-même, que l'intégrale d'une somme de fonctions est la somme des intégrales de chacune d'elles, on en conclut que l'intégrale d'une fraction rationnelle quelconque sera composée d'un nombre fini de termes, tels que
Xaf dx =
r Gdx G . TH^/jr „, , .
Devant bientôt revenir sur cette question pour l'approfondir davantage, je passe à une dernière observation relative aux intégrales définies considérées en général.
IV. Introduisons dans la différentielle /(^) c^^ une nouvelle variable, en posant
^=:F(6); elle prendra la forme
Cela posé, si, la quantité ûc croissant ou décroissant d'une manière continue de Xo à Xi, 6 varie toujours aussi dans le même sens, et qu'on ait
nous en conclurons
Cette nouvelle intégrale représente encore, en effet, l'aire delà courbe j=/(^), considérée comme limite de la somme des rectangles obtenus en prenant pour abscisses des points de division de la base du segment, les quantités :r(, = r{0o}, ^, = r{0o -^ dO), X2=F{Qa-h 2.d9),. . ., au lieu des abscisses équidislantes. Effectivement, il a été permis, sans altérer la limite de la somme, de remplacer dx, devenu variable, par F'{9)d9, qui n'en diffère que par un infiniment petit du second ordre, et d'ailleurs on sait que tous les modes de décomposition donnent la même limite.
On voit combien il est nécessaire de supposer la fonction F(0) essentiellement réelle, car ce que nous venons de dire n'aurait plus aucun sens dans l'hypothèse d'une substitution Imaginaire. C'est seulement dans le cours de seconde année que de telles substitutions seront considérées, en traitant une seconde partie du Calcul intégral qui a pour fondement la notion, donnée par Cauchy, d'une intégrale prise entre des limites imaginaires. En ce moment, il nous suffit de remar-
quer qu'élanl donnée sous forme finie explicite une fonction ^{0), telle qu'on ait identiquement
F{9) étant réelle ou imaginaire, il viendra, si l'on pose
et qu'on égale les dérivées par rapport à 0,
?'[F{0)]F'{0)=/[F(ô)]F'(0); d'où
?'[F(O)]=/[F(0)L et, par conséquent,
Ainsi l'intégrale indéfinie (f{x) sera elle-même obtenue sous forme explicite en substituant, dans rf(0), l'expression de 6 donnée par la résolution de l'équation x = F(0).
Nous n'étendrons pas davantage ces remarques, et, en réservant pour le cours de seconde année l'élude des cas où la fonction est discontinue en devenant infinie, nous, arrivons immédiatement à l'importante question des procédés et méthodes d'intégration. Ces procédés, qui sont en petit nombre, bien que conduisant à des combinaisons analytiques multipliées, reposent sur des considérations extrêmement simples. Ainsi, l'un des plus importants consiste dans l'emploi d'un changement de variable, dont l'effet est de ramener l'intégrale proposée à une autre qu'on sait obtenir. Ayant donc une méthode d'intégration pour les fonctions rationnelles, nous nous trouvons conduits à énumérer et définir les expressions irrationnelles ou transcendantes, dont l'intégrale peut se réduire par une substitution à celle d'une fonction qui est rationnelle par rapport à la nouvelle variable. C'est l'objet des considérations suivantes.
24o CALCUL INTÉGRAI,
