INTÉGRATION FAR SUBSTITUTION

Notions sur les courbes unicursales.

I. Considéranl en premier lieu les fonctions algébriques, je rappellerai d'abord qu'on a trouvé dans l'introduction, p. i5, qu'en faisant dans l'expression

où la variable et le radical entrent rationnellement, la substitution suivante

b-aO'

le radical disparaît. On a effectivement

\/{x-a){a:-b)^ ^ ^. > de sorte que l'intégrale

devenant, par ce changement de variable,

r n — a^' {b — a)0\i{b — a)Od^

pourra être obtenue explicitement en 9. Nous en conclurons, si on la représente parr^(0), d'après la remarque faite p. 289, qu'on a identiquement, la relation entre les deux variables étant ou non sous forme réelle,

Jf[^, \/[j:- a)(.i--b)]rlx= ^(^^^j.

Soit encore l'expression

où je suppose les exposants a, b,. . ., l commensurables, et la fonction rationnelle par rapport aux monômes x', x'',. . ., x'. Les irrationnalilés disparaîtront en faisant ar= 0", si l'on prend

pour m le plus peiil multiple des dénominateurs de «, h,..., /, et l'intégrale

Jf{x\a.\...,.7^),lx

est encore immédiatement réduite par ce changement de variable à celle d'une fonction rationnelle, à savoir

if^rr"^ (r\ . . . , O"") wO"*-' r/O, Ceci s'applique en particulier à l'intégrale

fqu'on peut ramener à la forme semblable, mais où les exposants m et n sont entiers, savoir

Elle s'obtiendra donc lorsque/? est un nombre entier positifou négatif; mais, s'il n'en est pas ainsi, soit

a -f- b.if' = z,

d'où

^(V^)"' '^^'=jl{W^Ï '^='

et, par suite.

■'dz.

Cette transformée pourra donc être déterminée si l'exposant

de 2 — a est entier. Ce cas n est pas le seul ; on a iden-

liquemenl, en effet,

a:"'[a -h bjf)" = ,xf"^"f [n x-" -f- bf,

et, en appliquant la condition qui vient d'être trouvée à l'intégrale

t .r"""i'[ax-"^ by dr, {^'Partie. I<^>

a42 CALCUL INTÉGBàL.

, „ , . . m -h np -\-i nous voyons qu on pourra 1 obtenir si ^ est entier (*).

Dans ces exemples, c'est la forme même des expressions placées sous le signe d'intégration qui a conduit aux substitutions employées, mais il est aisé de reconnaître que la considération directe des irrationnelles algébriques ne se prête que difficilement à la recherche que nous avons en vue. Ainsi, ce n'est pas en opérant sur l'expression suivante

jr= y^x^ -+. ^x^ -+- :r* -f- V J^ — /jr^H- J:^',

qu'on trouve la substitution

pour la réduire à la forme rationnelle

La considération de l'équation

qui sert de définition aux fonctions algébriques, en général, et dont le premier membre est un polynôme entier par rapport à la variable et à la fonction, ouvre, comme on va le voir, une voie plus facile et plus féconde.