II. Soit l'équation
Aj" -f-Bx/"^' -+-... -hKx^'j-i- Lof
= «j"*"' -H ô.r/^-^H- . . . -+- hx'^-'^y -4- kar^\
où A, B,. . ., L, a, b,. . ., k sont des constantes, et qu'on ne
C) On doit à M. Tchebycheflf d'avoir démontré que les conditions ainsi obtenues, comme suffisantes, sont nécessaires pour que l'intégrale
x^{a -i-bx'y dx
soit exprimable sons forme finie explicite par les fonctions algébriques et logarithmiques, en supposant m etn entiers.
PREMIERS PRI>CIPES. 1i^3
peut, en général, résoudre par rapport à j; rien, néanmoins, n'est plus facile que d'en tirer a? et j en fonction rationnelle d'une variable auxiliaire, car, en faisant jr= dx, nous en concluons immédiatement
fl9"-'-t-^>0"'-'-H...-i-X- ^~ AÔ"-HB5"-'^...-t-L '
et, par suite,
aO'"-H6&"-'-n...-i-/9 ^- Aô"'-+-B()'"-'-^...^L*
Si nous supposons, en particulier,
j^— ajr'-H 3x)- = o,
nous avons, en résolvant cette équation du troisième degré, l'exemple de l'irrationnelle qui vient d'être indiqué. Soit, en second lieu,
(A/" -4- Bxj"-' -H ... -H Kx^-'j -+- Lx^Y
= (j*-+- «xj-i- vx*){aj"-'-hbxy"'-'-i-...-+- haf-^f;
la même substitution j= tx donnera d'abord
X = iJr-¥- fit -hv --— — ,
et, en supposant
/'-l-^^-Hv = {/— a)(f — S),
il suffira, pour obtenir une transformation entièrement rationnelle, de prendre
Ainsi, dans cet exemple particulier nous aurons d'abord
puis, en faisant
nous parviendrons à ces expressions
^ = >,i v/~ ' î J = — Tî 'J — l ;
ou, si l'on remplace 0 par 0 v'"'»
Or, il serait beaucoup plus difficile d'y parvenir en partant de l'expression compliquée de y en x. Ces quelques résultats mettent sur la voie d'une recherche plus générale; élant donnée l'équation F(^, /)=o, dont le premier membre est un polynôme entier en x et j, nous nous proposerons de reconnaître s'il est possible d'exprimer or et j en fonction rationnelle d'une variable auxiliaire. Ce sera ainsi résoudre, à l'égard des fonctions algébriques, la question que nous avons en vue, car ayant
l'intégrale
ydx.
ou plutôt celle-ci
f{x, y) étant rationnelle en x et j, deviendra, par l'introduction de la variable 9,
OÙ l'on n'a plus sous le signe d'intégration qu'une expression rationnelle. Or, en suivant ainsi la voie du calcul, et faisant l'étude d'un procédé élémentaire d'intégration, nous sommes amené à l'un des points les plus intéressants de la Géométrie moderne, à la théorie des courbes algébriques auxquelles M. Cayley a donné le nom d'iinicursales, et que M. Clebsch et M. Chasles ont enrichie de leurs découvertes. Je renverrai
aux iravaux de ces illustres géomèlres en me bornant, pour mon objet, aux considérations qui suivent (*).
III. Je dis en premier lieu que ces relations, qui définissent une courbe unicursale, à savoir
degré. On sait, en
ryO" | V 0"-' -i-
donnent entre x ^\y une équation du n'
effet, qu'en éliminant 0 entre ces deux équations générales,
AÔ'' + A,©"-' + ...-^-A„=^o, B0"-(- B, 6"-' -t ...-+- B„ = o,
on est conduit à égaler à zéro un déterminant à n colonnes, dont les éléments sont composés linéairement avec les diverses quantités A.B*— A*B/. Or le terme xy disparaît dans la' combinaison
de sorte que le premier membre de l'équation est composé d'une somme de produits de n facteurs, fonctions linéaires de X et y, ce qui démontre le résultat annoncé. Il s'agit maintenant de caractériser et de définir avec précision les équations algébriques qui ont cette origine. Voici, dans cette recherche importante, quelle est l'idée essentielle. J'observe qu'il est possible de satisfaire par un certain nombre de valeurs des inconnues 0 et 0' aux conditions
( * ) Sur les courbes planes ou à double courbure dont les points se peuvent déterminer individuellement. Application du principe de correspondance dans la théorie de ces courbes, pur M. Cbasles {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LXll, p. 579). Note sur la correspondance de deux points sur une courbe, par M. Caïley (/rf., p. 5)86). Foj^ez surtout deux beaux et importants Mémoires de M. Clcbsch, dans le Journal de Crelle, t. 6i, p. aïo, et t. 73, p. 189.
Désignant donc par 6 = 9„, 6'=ô\ un système de solutions, je pose, pour abréger,
et j'en conclus que chacune des différences ^ — « et y—b devant s'évanouir pour 0 = (9o et 0 = 0'o, nous aurons, en désignant par $(0) el^''(0) des polynômes en B de degré n— 2,
I j(^ — . fi — — j j
Au point de vue géométrique, et en considérant la courbe représentée par les équations
ces deux déterminations distinctes de Q, qui reproduisent les mêmes valeurs des coordonnées, nous donnent la notion des points doubles, puisque, évidemment, en faisant varier cette quantité de 0o à Q\, nous obtenons une portion de la courbe qui se coupe elle-même.
Au point de vue analytique, les équations (i) nous conduisent, pour notre but, à une conclusion importante. Elles montrent qu'en faisant 0 = 0» + f, on aura, en développant suivant les puissances croissantes de t, des expressions de cette
forme
X — a = mt ■+- ni'Û -h />i"t^ H- , . . ,
r — b — nt -i- n'Û -h /i"t^ -h. . . ,
et en posant
nous obtiendrons de même
x — n = pu -i- p' lû -+- p"iâ + . . . , y — b = qu ■+- q' u? -+- q"iâ -h . . . .
Soit donc F (^, j) = o l'équation rationnelle et entière du degré n qui résulte de l'élimination de 0. Celte équation deviendra identique en y remplaçant x et /par leurs valeurs en fonc-
lion de 6, ou par les développements en série, ordonnés suivant les puissances de / et de u. Or, la formule de Tajior donnant
les équations identiques eri < et u seront ., ,. f d¥ d¥\^
[ //F ,r/F , ,rf'F \ .
/ ,d? ,dV , ,d'F \ ,
-^[Pd;;-^'Jdb-^'^^iù?^--r-^'-"
Elles conduisent à ces conditions
^, ,, r/F d¥ dV d¥
et l'on tire des deux dernières
f/F - dY
puisqu'en général le déterminant mq — np est différent de zéro. L'origine analytique de notre relation Y{x, /)= o a donc pour conséquence nécessaire que les égalités
sont compatibles, et admettent pour solutions toutes les quantités x=:a, y=^h. Ces conditions, auxquelles nous nous trouvons ainsi amené, donnent lieu aux remarques suivantes.
cl y d^y IV. Les dérivées -/ 5 -j-^^ de la fonction définie par l'équation F(;r,/)==o s'obtiennent, en général, par les relations rfF d¥dr
dx dy Ux '
'111. ^^'F tjy^ (P¥^ fjy^ dF (£r
€tx^ dxdy dx dr^ dx'' dr dx*
Mais si l'on suppose a:= a el, par suite, j= b, la première devient identique, et -7-^ disparaît de la seconde, qui donne
alors pour -^ deux valeurs en général distinctes. En revenant à la considération géométrique du lieu de l'équation
on voit ainsi qu'il existe, aux points tels que x = a, j = />, deux tangentes, et par conséquent deux branches de courbe, ce qui leur assigne le caractère que nous leur avons déjà reconnu de points doubles (*). Nous remarquerons surtout celte conséquence, bien digne d'attention au point de vue de l'Algèbre, que, si une autre équation cf (x, j)= o est aussi vérifiée \)Our x= a, x= b, on obtient, à l'égard du système
une solution double, puisque ces valeurs annulent le déier-
, dF di dY d^ ^,
minant fonctionnel —r—, -, î- • t, est d ailleurs ce que
dx df df dx ^
la Géométrie montre immédiatement. Considérant, en effet, Fig. 26. deux courbes {Jig. 26), l'une ayant un
point double en M, et les deux branches MA, MB, l'autre étant quelconque et coupant la première en A et B; on reconnaît bien, en la déplaçant de manière que ces deux points d'intersection se réunissent en M, qu'alors deux
solutions distinctes des deux équations viennent à coïncider.
( ) Si 1 équation en -7-; a ses racines égales, ce qui suppose
■^^ \dxdj) ~ dx^ dy-" '
les deux Lranches ont la même tangente, et le point double devient un point de rebroussement; ce cas se présente à l'égard des courbes unicursales lorsque les quantités 6^ et b\ coïncident.
Kl si cette seconde courbe a elle-même un point double en N
[fig. 27) et, par suite, deux branches coupantla première en quatre points A, B, C, D, ces quatre intersections, en la déplaçant de manière à faire coïncider M et N, viendront se réunir en une seule.
11 en résulte qu'en éliminant l'une des inconnues, y par exemple,
entre les équations des deux ( ourbes
l'équation finale en x renfermera, dans le premier cas, le facteur X — a élevé au carré, et, dans le second cas, le même Cacieur élevé à la quatrième puissance.
V. Je reviens aux courbes unicursales, représentées, comme nous l'avons dit, par les relations
Fig
