CALCUL

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rme

OÂ,

e-l y, ^fj — a'

Après avoir supprimé le facteur Q' — 9, el observant que

[B — a)[B' — a) = a^-i- at -i- II., elles deviennent, en effet,

.^d a -f- «/ + u A^ à^ -H at -r <^

de sorte que, sous forme entière, elles sont du degré n— i, et, par suite, admettront un nombre de solutions égal à [n — ïf. Mais, en chassant les dénominateurs, on obtient, pour les premiers membres, des combinaisons linéaires des produits n — I à n — I des quantités

a^-\- at -^ u., b^-i~ be -i- u,. . ., P-i- It -h u;

par conséquent, elles sont satisfaites en annulant à la fois deux quelconques d'entre elles, ce qui donne \n{n — i) solutions telles que t = —{a + b), uz=ab, t=—{a-h-c), u = ac,..., auxquelles correspondent les valeurs Q := a, 9=b,..., qui rendent ^ et j infinis. Or, en supprimant ces solutions, il reste, pour le nombre des valeurs des inconnues, el par conséquent pour le nombre même des points doubles, la différence

comme nous nous étions proposé de l'établir.

VI. La proposition réciproque établie par M. Clebsch {Journal de Crelle, t. 64, p. 44) conduit à la solution complète de la question de calcul intégral que nous nous sommes proposée. M. Chasles a donné ensuite pour le même objet le théorème smyanl {Comptes rendus des séances de r J cadémie des Sciences, l. LXII, p. 584):

« Si une courbe C,, d'ordre n a j{n — i)(/i — 2) points doubles, on peut déterminer ses points individuellement au moyen

d' un faisceau de courbes d'ordre n — i, qui ont n — 2 points doubles communs avec pareil nombre de points doubles de C„, et ^{n — 2)(«— 3) points simples coïncidant avec les autres points doubles de C„, et qui passent toutes par un autre point fixe de C„. »

L'illustre géomètre l'établit comme il suit :

a En effet, un faisceau de courbes d'ordre n — \ est déter-

1/ x/ » n'H-n— 4..V A mine par y(n — i)(/ï + 2)— 1= ^points, base du

faisceau. Or les n — 1 points doubles équivalent à 3(n — 2) points simples, qui, avec les {{n — 2)(« — 3)+ i points par lesquels passent les courbes d'ordre n — i donnent

Ainsi le faisceau est déterminé.

» Ces courbes, d'ordre n — i, coupent C„enn(n —i) points, dont 4(« — 2) se trouvent aux n — 2 premiers points doubles, (n — 2) (n — 3) aux autres points doubles, et un au point fixe pris sur C„ ce qui fait

Donc les courbes n'ont qu'un point d'intersection variable; ce qui démontre le théorème (*). »

Ajoutons seulement ceci, au point de vue du calcul.

VII. Etant proposée la relation, de degré n, F(;r, y) = o, on commencera par déterminer tous les systèmes de valeurs de X tiy qui donnent à la fois

puis, en les supposant au nombre de y(/i — i)(n— 2), on les

C^) M. Chasles emploie encore un faisceau d'ordre n — 2 Jans une seconde proposition, dont voici l'énoncé : Les courbes du faisceau auraient pour base i points doubles coïncidant avec des points doubles de C„, {{n — \){n — a) — S points simples coïncidant avec les autres points doubles de C,,, et n — 3 — a J autres points simples pris sur C„. M. Clebsch avait donné la môme proposition dans le cas particulier de o ^^ 0.

partagera en deux groupes : l'un qui en comprend n — 2,

el l'autre { ( « — 2 ) ( w — 3 ),

Cela fait, nous posons, entre les coefficients d'une équation générale S{x, 7) = o de degré n — \, les trois conditions

^, . di di ^^Kr) = o, — = 0, ^ = 0,

pour les n — 9. valeurs

x = a, y = b, x=o', yz=b',...,

puis l'équation unique ^{x, j) = o, d'une part, pour

et, en dernier lieu, pour le système ^ = ^o,j=jo, remplissant la condition F(^o, J'o)=o, et qui conlient, par suite, une quantité arbitraire. Les coefficients de l'équation du faisceau étant déterminés par ces diverses équations du premier degré en fonction linéaire d'une variable Q, j'obtiendrai les quantités x= cp(0), j= (^(0) en calculant, d'une part, la somme des valeurs de x, et, de l'autre, la somme des valeurs de j, qui satisfont à la fois aux deux équations

La première, en ayant égard à l'ordre de multiplicité des solutions x=:a, X = a',..., eix = g, x=: g',..., sera

et la seconde

Y-h 4{b -h- b'-i-. . .]-t-2{h -i- h' -h. ..)-+- Ju!

or je dis qu'elles sont représentées par des fractions rationnelles de même dénominateur, dont les termes sont des polynômes de degré n en 6.

Considérons d'abord l'équation finale en x, qui est, en dé-

signant par j„/j,...,jjes racines de l'équation F(:ir, ;'-) = o, ^{•^,7.)x^(ar,7,)x...x^(x, j„)=o.

Voici succinctement la méthode employée par M. Liouvilledans son beau Mémoire sur l'élimination {Journal de Mathématiques, année i84i, p. 345). Elle consiste à développer les divers fadeurs ^(^,7,), J'(j;, j,),... suivant les puissances descendantes de^, en limitant chaque développement à ses deux termes les plus élevés qui seront seuls nécessaires. J'emploie à cet effet les développements des racines j,, yi,..., x„ bornés à leur partie entière, que donne la théorie des asymptotes. Si l'on fait

(f{x), 9, (a:),... étant des polynômes de degrés n, n — i,..., et qu'on désigne par a, p,..., X les racines de l'équation ç)(a:)=;o, on aura ainsi

Or, en posant, comme tout à l'heure,

un calcul facile donne

nous en conclurons, en multipliant membre à membre, divisant par vj^(a) 4'((3)---^(X)> et posant, pour abréger,

rfi-r. r, ) -f ( .r, v.^^ . . . '^ ( .r. r„ )

Ce résultat obtenu, nous en déduirons ce qui concerne l'équation finale en j, en observant que, si l'on fait, pour un instant,

il suffira d'y remplacer à la fois 9(^), 9i(^), '■\'{^), 4''('^) P^'' $(^), <î>,(^), ^F(^), Wi{x), et les racines a, (3,..., X par celles de l'équation $(^)^ o qui sont leurs inverses, car on a évidemment

Cela étant, le calcul le plus facile donne, pour l'équation cherchée,

où £ et e, désignent les coefficients de x" et x"-' dans les polynômes 9(^) et cp,(:r).

En employant, pour abréger, le signe'V^ nous aurons donc ces relations qui déterminent ^ et j en fonction de 9, savoir :

j-h i{b-h b'-i-.. .)+ i{h-+- h'-h.. .)-f-j„ = (« — ij^-f-V a0(a).

Les quantités a qui y figurent sont indépendantes de 9, et la

fonction Q{x)=^ ^ '^ \/ , ,T \ contient cette va-

c^'(x)^ix)

riable au premier degré dans ^'f-^) et ^i{x), de sorte que les seconds membres se réduiront à deux fractions de même dénominateur, et dont les numérateurs, ainsi que ce dénominateur commun, seront des polynômes du n'*'"* degré en 9 ; il en sera de même, par conséquent, pour x et j. Tels sont

les résultais analytiques auxquels conduit le théorème de M. Clebsch pour remplacer, toutes les fois qu'il est possible,

l'équation

F(x,j)=o par le système

x = <p{e), j = -MO),

où la variable indépendante et l'irrationnelle algébrique sont des fonctions rationnelles d'une nouvelle indéterminée. Nous connaissons ainsi le changement de variable qui réduit l'intégrale

à celle d'une fonction rationnelle

et c'est là un des résultats les plus importants de la méthode d'intégration par substitution ; il nous reste à montrer l'emploi, ' beaucoup plus restreint, de cette méthode à l'égard des fonctions transcendantes.