VIII. Je considérerai seulement ces deux expressions
I f(c'")fLc, / /( si n x , cos X ) dx,
la fonction/ étant toujours rationnelle par rapport à la quantité unique ou aux quantités qui y entrent. En faisant d'abord
t-"' = 0, d'où
:r = -logO et flx = -rr,
ce qui ramène l'intégrale de la fonction transcendante à celle d'une fraction rationnelle. La même conclusion s'obtient dans le second cas en posant
tangij:=e;
on aura
car on en déduit
-, COSX = ■ 7^) dx =
el, par conséquent,
J/(sinx, cos.r) dx=Jf(j^,^ ^^ ■^•
On aurait pu remarquer encore qu'ayant
sinj; = = , coso; = ?
l'expression /(sin^, cos^) est une fonction rationnelle de l'exponentielle imaginaire e''\^~', de sorte qu'en posant
d'où
:J COS.r =
on aurait transformé /(sin.r, cos^) en fonction rationnelle de t. Mais la première substitution, outre l'avantage d'être réelle, conduit dans plusieurs cas importants, comme nous le verrons plus tard, à des calculs plus faciles. Il est préférable alors de poser, comme on l'a fait,
tangyx = 9;
on voit d'ailleurs immédiatement que ^ et 0 sont liés par cette relation très-simple
Intégration par parties.
I. Après le changement de variables, le procédé analytique le plus important, pour la détermination des intégrales, consiste dans ce qu'on nomme \ intégration par parties, et voici en quoi il consiste. En désignant par U et V deux fonc-
lions quelconques de x, on lire de l'ideniiié r/UV ^,n ,,r/U
dx (le dx
la formule
Tu dy = UV - Tv r/U,
qui ramène l'inlégrale 1 U f/V à une aulre I Vc/U. Nous trouvons ainsi, par exemple,
/ logJ-v/^r = X logjr — / .rr/Iogx = jrlogx— / /^6; == j^(logx — i).
Mais pour présenler dans son acceplion la plus générale et la plus simple le procédé de l'inlégralion par parties, nous établirons la formule suivante. Posons, pour abréger,
f/''V dU d"-'W r/'U d''-'Y ,r/"lT
^~ (b^' dx dx"-' '^ dx' dx"-' •••-^\ ^' dx"'
Je dis que l'on aura
Eireclivement, si l'on différentie cette équation, il vient <-/"+'¥ de r/"^'U
d'où
de „r/"^'V , ...„^/"-*-'U dx
= "S?^*<-""^TSFr.
ce qui Svi vérifie immédiatement; car on a
de d\]d"Y d'\]d"-'y d"^' IT
ilx~ (U (LC' dx' dx-"-' '^'"^^ ^' djf'^'
égalité où tous les termes se détruisent, sauf le dernier de la première ligne et le premier de la seconde ligne, ce qui donne bien le résultat annoncé.
Comme application , nous allons considérer l'intégrale
1»« Partie. 17
/ e'"F{x) dx, où F(^) sera supposé un polynôme entier en x et du degré n. Prenant donc, d'une part,
et de l'autre
ce qui donne
on en conclut immédiatement
et l'on a d'ailleurs
plie pOX .,ax
ax r-
Ce résultat conduit à un autre plus général concernant l'intégrale
dans laquelle on suppose la fonction F entière par rapport à ^ et aux exponentielles e"', e*^, . . ., eK Car cette fonction, se composant alors d'une somme de produits de puissances entières et positives, des quantités x, e"', e*', . . ., e*' sera de la forme
de sorte que chaque terme s'intègre comme on vient de le voir. Ajoutons que les constantes a,b,...,k peuvent être réelles ou imaginaires; car, en supposant, par exemple,
a = a -H S sj — I ,
on aura
f,ax ^o.x ^cos^x + y/— I sinp^),
ce qui, permettant de mettre la fonction sous le signe i sous
PREMIERS PRINCIPES. sSg
la forme
nous placera dans la condition du § I. C'est ainsi, par exemple, que de l'intégrale
fe"dx=:Ç, on tirera
/'„/ û / — • a \j e" (cosSj: -I- i/— I sinBx) a-+- Py—i
c"(cosPj:-f-v/— I sinpjr)(a — Pv/--ï) et, par conséquent,
e" C08 ôxdx ~ — i 4 — ^ S-—' ,
/\s ■ a j e"(asin0j: — ScosBx) ^ a'-hp'
Semblablement, si l'on change la constante a enrt/^, dans l'expression obtenue plus haut
on en conclura ces deux résultats, faciles à obtenir directement, savoir :
J C0BaxF{x) dx = — — ^F{x) ^ + —1-2-.. .J
cosaxrF'(.r) F"'{x) F" {x) 1
fsinaxFix)dx=.'^^\':M^mi^nfl .]
C08^.rr^,„^ F"(.r) , F'M^) T
