V. Nous joindrons enfin à ces intégrales les suivantes

j F{x,\ogx)dx, j F{x,aTcsmx)dx, j F{x,arccosx)dx;

en faisant, en effet, tour à tour,

log.r = z, arcsinx = z, arc cosj: = z, elles deviennent

I F{(f, z)c^,dz, / F(sinz, z) coszffe, / F(cosz, z) sinzc/z,

et rentrent, par conséquent, dans la formule du § IV pour des valeurs réelles ou imaginaires des constantes a, b,. . ., k.

Tels sont donc jusqu'ici les divers types de fonctions pour lesquels on possède une méthode sûre d'intégration sous forme finie explicite. Bien d'autres, nous devons le dire, ne rentrent point dans ces méthodes; ainsi, par exemple, en posant

u = X sinx -f- coso:, c = sinx — x cosx, on n'a aucun procédé pour trouver directement

' .r^ flx i>

x^'clx

hx-"

ctx

ùv]

Nous pourrions encore citer, en désignant toujours par « et b des constantes, cette intégrale

adx

tana;x

[rt + {ux -t- b) lang.r]'' a -\- [ax -+- b) tangx

dont on ne peut vérifier la valeur que par la différeniialion.

Ce n'est pas toutefois aux seules fonctions algébriques et transcendantes précédemment considérées que se limite le calcul intégral, et bientôt nous allons voir le champ s'agrandir, en même temps que nous approfondirons les méthodes de calcul dont nous avons donné seulement une première esquisse. A cet égard, nous commencerons par le cas le plus simple, celui des fonctions rationnelles, que nous traiterons avec quelque étendue, en y rattachant plusieurs notions importantes d'Analyse.

PREMIERS PRINCIPES. a6l