TT' V U V
quotient ^^ ^ qui est entier, est nécessairement une
constante k. Ayant ainsi
U'V-UV ^ , T
on en conclura
T^l U'V-UV £ , , V2 - ^. — Y^" ~ /• '"^ '
et par conséquent
OU bien encore
y/Ax* + Bx* -t- Cx* -4- D^ -I- E \/n^* + 69' + cô' + rf9 + e
forme analytique semblable à celle qui a été obtenue précédemment, et qui lie le problème algébrique aux propriétés d'une fonction transcendante analogue aux lignes trigonométriques, mais d'un ordre plus élevé. La proposition sur les racines carrées des polynômes du 4* degré, que je viens d'établir succinctement d'après Jacobi, a été en effet le point de départ des découvertes relatives à la théorie des fonctions elliptiques qui ont à jamais illustré le nom de ce grand géomètre (*).
Des variables imaginaires dans l'étude des fonctions.
Je ne rappellerai point l'origine des expressions de la forme a + (3 y/— I , ni les conventions qui ont été faites pour les soumettre aux diverses opérations du calcul élémentaire. On sait les propositions auxquelles elles donnent lieu dans la
(*) Voyez l'Ouvrage intitulé : Fundamenta nova theoriœ functiomim ellipti' earum.
théorie des équalions algébriques et en Trigonométrie, où elles figurent comme l'élément même de la formule de Molvre. Mais il est indispensable de faire connaître comment on les introduit dans l'analyse générale, où leur rôle a encore plus d'importance et d'étendue. Nous commencerons à cet égard par la considération géométrique suivante.
I. Ajant tracé dans un pion deux axes rectangulaires O^c p. j et Oj [Jig- 0> o"! ^'^^^ correspondre à
y toute expression imaginaire
z = JC -\- y v' — 1
un point Z dont l'abscisse est la partie ^ réelle x et l'ordonnée le coefficient/
de \j—i- De là résulte que toute loi de succession de quantités de cette nature sera donnée par une suite de points, et, par conséquent, par un lieu géométrique si les quantités x et j varient d'une manière continue. Cela posé, soit u une fonction de la variable z, un polynôme entier par exemple, qu'on pourra, pour toute valeur de z, mettre sous la forme
Nous appliquerons le même mode de représentation à u et à la variable indépendante, de sorte qu'à un lieu, à une ligne quelconque, déterminant la loi des valeurs z, répondia une autre ligne donnant la loi de succession des valeurs de la fonction. Nous pourrons aussi employer, au lieu des coordonnées rectangulaires, les coordonnées polaires p et &>, en faisant
j; = |iCOSw, j=psinw,
p étant la distance OZ toujours prise positivement, et- &» l'angle 7.0x. Alors on nomme p le module, l'angle o) l'argument de z, et à l'égard de u, nous poserons semblablement
X = Rcoscp, Y = Rsin<p.
Ces principes établis, notre but est maintenant de montrer comment la dépendance de ces éléments analytiques, ou celle
des deux figures construites avec les quantités z et t/, manifeste les propriétés caractéristiques les plus importantes de In fonction.
II. Je chercherai, en premier lieu, comment l'argument du binôme z — a varie avec l'argument de z, la constante a étant de la forme a + l3 \j— \ . Ayant donc fait d'une part
2 = ptcosw -+- y/ — I sinw)' et de l'autre
z — « = R (coso ■+- v/-— I sint )' nous aurons
p(co3w -h v/— i sinw) — se — P v'— ' = R (cosy -+-\/ — j sin&) ;
d'où ces équations
pCOSw — a = Rcos^,
p sino)— p = Rsincp,
qui déterminent, avec la condition de K positif, un seul angle 9 compris entre zéro et 27:. C'est cet angle que je vais considérer, en supposant p constant, comme fonction de la variable w. Parlant à cet effet de la valeur
p sinw — (3 tangœ = "^ -,
p COS w — «
et prenant la dérivée de l'expression
P sinw — &
9 — arc tan» ^- ^i ,
p COSw — a
savoir
, ù — a cosw — Ê sino)
"^ (pcosw — a)'''-i- (p sinw — pY
j'observe que le numérateur, en introduisant un angle auxiliaire coa, peut s'écrire ainsi
p — v/a^ -H ^^ COS ( w — w„) .
Or de là résultent deux modes d'existence bien distincts pour la fonction 9, suivant qu'on aura y/a^ + [3^ <p ou v'aM^>p. Dans le premier cas, la dérivée étant toujours positive, 9 croît indéfiniment avec w. Dans le second, celte dérivée s'annule
en posanl
- = COSfw — (
elle offre, comme on le reconnaît aisément, une série périodique de valeurs alternativement positives et négatives, et l'angle 9 reste compris entre un maximum et un minimum. Ce résultat important peut s'obtenir, par la Géométrie, d'une manière très-facile.
Remarquant que la variable z est représentée p'ar un point M {fig. 2) du cercle x"^ -4- j^î^rrp', je considère deux nouveaux axes coordonnés parallèles aux premiers, et dont l'origine, ayant a et [3 pour abscisse et ordonnée, représenterait la constante
Cela posé, entre les coordonnées x' et j' du point M et les anciennes, on aura les relations
d'où
Le module et l'argument de z — a sont donc la longueur AM et l'angle MA^'. Or la condition v/a' H- [3'<Cp revient à supposer le point A dans l'intérieur du cercle de rayon p, et alors, en effet, lorsque le point M décrit la circonférence, cet angle va toujours en croissant et a repris sa valeur initiale augmentée de 27:, quand le rayon AM est revenu à sa première position.
Mais qu'on place en second lieu {fi^. 3) le point A en dehors ducercle, et l'on voit que la direction MA oscille entre les limites PA/>, QA^, déterminées par les tangentes AP et AQ, de sorte que le point M, revenant à sa position initiale après avoir décrit la cir-
Fic. 3.
conférence entière, l'angle 9, après avoir été tour à tour en décroissant et en augmentant, finit par reprendre sa valeur primitive.
III. La construction géométrique qu'on vient d'employer conduit facilement à reconnaître qu'on peut substituer au cercle une courbe fermée quelconque, contenant à son intérieur l'origine des coordonnées, et parvenir à la même conclusion; car on n'a eu recours à aucune propriété caractéristique de la circonférence, si ce n'est d'être une courbe fermée (*). Considérons maintenant, en nous plaçant à ce point de vue plus général, le module et l'argument du produit d'un nombre quelconque de facteurs binômes
Il = {z — a) [z — b). . .{z — l],
et supposons que la variable imaginaire
z—p (cosw -+- \/— I sinoj)
décrive un contour fermé quelconque S. Si l'on fait
z — rt = R (cos'f H- v/— I sinip), z — b = R,(cos(ï),-i- y/— I sin^p, ),
et
z— l — R„(cos<p„-f- y/— I sincp„), u = Jl(cos<I>H- v/— 1 sin<l>),
l'équation
A (cos'ï> -+- \J — I sin $) = RR,...R„(coS())+v^- isin^)(cos9,-f-v/ — isin^,)...(cosf„H-v'— isin<pj
(*) En supposant ^ fonction de w dans l'expression
psinw — & f =; arc tang '
p Costa — « on trouverait, pour la dérivée de p,
, p' — p(« cosM -i-/3sin 0)) — p'Çxsinu — ;3cosm'>
" (|9sinw — /3)'-i- (p cosw — «)' '
d'où résulte que la fonction de w placée au numérateur ne \ ourra s'évanouir et changer de signe qu'autant que le point («, /3) sera extérieur à la courbe déterminée par l'équation entre o et w.
donnera
JR. = RR,. . .R,, et
<t> = (p-<-<p, -<-...-H(}>„-f- 7.kv.
Cela posé, lorsque la variable z parlira d'un point du contour pour y revenir après l'avoir décrit entièrement et une seule fois, l'angle w croîtra d'une valeur déterminée «o à 0), H- 27r et des divers arguments <p, fonctions continues de w, ceux qui correspondent à des constantes a, b,. . ., l, renfermées à l'intérieur de S, augmenteront aussi de 2;r, et ceux qui correspondent à des constantes placées à l'extérieur reprendront, au contraire, la même valeur. On a donc le théorème suivant :
Lorsque la variable z décrit un contour fermé, Vargument du polynôme entier
u = {z — ft){z — b)...{z — l)
varie d'un multiple entier i^r. de la circonférence, égal au nombre [jt. des racines de l'équation a= o, qui sont contenues dans V intérieur de ce contour.
Remarquons qu'en faisant
« = X -+- Y y/~, on a
X = ^cos*, Y^Jlsin*, d'où
Y - colang*.
Cela étahl, il suffit d'établir celte proposition facile que la
variable z décrivant une fois le contour fermé, le rapport -^
s'évanouit pour différents points de ce contour, en passant du positif au négatif 2|n fois de plus que du négatif au positif, pour avoir ainsi la démonstration donnée par Sturm, du théorème célèbre de Cauchy, sur les racines imaginaires des équations algébriques ^*).
(*) Journal de M. Liouville, i''* série, t, I, p. 290.
m. Les considôralions précédenles monirenl déjà l'imporlance de l'emploi des variables imaginaires dans l'étude des fondions entières, en conduisant presque sans calcul au principe même du théorème mémorable donné par Cauchy, pour déterminer le nombre des racines de toute équation algébrique qui sont renfermées dans un contour donné. A la vérité, nous ne donnons point encore complètement cette belle découverte du grand géomètre, qui sera exposée dans le Calcul intégral, et sans en rien omettre, en suivant la voie même de l'inventeur; mais il suffit d'en avoir obtenu le point essentiel, dont nous allons dans un instant trouver une application importante.
Considérons, après les fonctions entières, les fonctions algébriques définies comme racines de l'équation
et suivons les conséquences de la représentation géométrique simultanée de la variable indépendante z et de u. A un lieu déterminé, figurant la loi des valeurs imaginaires de z, correspondra un autre lieu, représentant de même, et pour les diverses racines de l'équation proposée, la loi de succession de leurs valeurs. Cela posé, et en désignant son degré par n, il est naturel de penser que le système de ces racines sera représenté par n courbes distinctes, ce qui reviendrait à envisager chaque racine comme une fonction bien déterminée de z. Par exemple, l'équation
i{'^Y[z)--=\z-o){z- b)...[z-l], donnerait ces deux expressions,
u = -^\/V\z) et II — —}j¥[z).
Mais ici vient s'offrir, à l'égard des irrationnelles algébriques, quelque chose de remarquable et d'entièrement caractéristique, que l'étude de cette équation va mettre en pleine lumière.
