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et il suffira d'observer qu'on peut faire, en général, / f{x]dx=. f{x)dx-\ f{x]dx,

(') On a établi, dans les préliminaires du Calcul intégral, qu'il en serait ainsi lors même que la fonction placée sous le signe d'intégration changerait brusquement de valeur, pourvu qu'elle reste toujours finie.

pour en conclure, avec un sens unique et entièrement déterminé, comme nous nous sommes proposé de l'obtenir, l'éga-

lité

"i dx

arc tangor, — arc tang j:^.

C'est ce résultat qui va nous donner la détermination précise de l'intégrale

r-^i dx

et par conséquent celle de l'intégrale définie d'une fonction rationnelle quelconque.

Soit, à cet effet, en reprenant l'égalité dont nous avons déjà fait usage,

' Ç dx r {x — a)dx , r bdx .

J a;~a-bs/-^i~J î^^"«)'+^''^^~'j [x-a)'-+-b''

on aura, à l'égard de la partie réelle,

r^i [x~a]dx ^ I ^^^ y^ ^,-| £ log [(.^r aY-i-b'-]

I , (x, — aV-^ b^ = — loe -^ — — — ^ •

Or les limites Xo, x^ étant supposées essentiellement réelles, nous devons évidemment rejeter toute détermination imaginaire du logarithme, qui sera pris par conséquent dans son acception arithmétique. Quant à la seconde intégrale, la substitution X — a^bz donnant

L [X — ay -^b'~ J^„-a 1

dz

elle se trouve complètement déterminée, ainsi qu'on vient de le voir; nous avons donc

bdx ^ X, — a . X. — a

i u , Li = ^^^ tsng -^. — - — arc tang -^. — ,

d'où, par suite.

(x,-ay-\-b-

J,,^ .r«6v/-i a *'(.r,-fl)^-H6'

I arc tang -!-t arc tang -^

le logarithme et les deux arc tang étant définis comme il a été dit précédemment.

II. Soit proposé, comme application de celle formule, d'obtenir la valeur de l'intégrale

(Ix

X — cosa — y' — isina

Le terme réel, à savoir

1 , (l — COSa)'-<- sin*a

2 ° (i H- COSx )•'-+- Sin^'a

se réduit immédiatement à

-logtang'-.

et ne donne lieu à aucune remarque. Quant au coefficient de \ — I, nous partirons de ces égalités

I — cos a

b sina

x, — n — I— cosa

Sina

tang - 1

~ tang

en distinguant les deux cas suivants.

Soit d'abord a-^^inr: -\- ot.\n étant un nombre entier, et a! compris entre zéro et t:; on aura immédiatement