X. — a a' arc tang
mais, pour le second terme, il faudra retrancher tt de l'arc
f de manière a comprendre le reste entre et H — »
ce qui donnera
arc tang -^y-
x^— n a. — TT
el, par conséquent,
arc tang — -. arc tang - — -, — —
■r^ — a TT
Soit, en secondlieu, a = saitt — a! ,a.' étant toujours compris entre zéro et ?:; nous trouverons alors
arc tane;
œ, — a Tz
d'où
arc tang -^ — =
arc tang -^, arc tang -^^ — ~
Ce résultat donne lieu aux remarques suivantes. m. Le coefficient de >J—i dans l'intégrale proposée
J — 1 a: — cosa
étant
\/— 1 sina sin a dr
20; cosa -t- a;
il en résulte que, si l'on suppose a compris entre zéro et tt, celle intégrale a la valeur constante -^ mais, en faisant croître ce de 71 à 2 7:, elle devient dans ce second intervalle égale à
TT
) puis reprend sa valeur primitive entre les limites stt
et Stt, — Soit donc
f. . /'~^' sin a r/.r
J, 1 — 2a;C0Sa -i- x^'
f{x) est une fonction discontinue, périodique, égale a -\ —
OU à î suivant que la variable est renfermée entre 2/17: et
(2/1 -f- 1)7:, ou entre (2« — 1)71 et 2/171, n étant un nombre en-
lier. L'expression d'une telle fonction, que nous rencontrons ainsi sous forme d'intégrale définie, nous fournit le premier exemple d'un fait d'une grande importance, et qui montre comment l'opération nouvelle d'intégration dépasse les limites des opérations de l'Algèbre, en donnant naissance à des combinaisons analytiques que celles-ci ne pourraient obtenir. Afin de compléter ce qui concerne/(a), et pour avoir occasion d'indiquer quelques considérations d'un usage continuel, je vais donner son expression en série sous la forme
I y, , . sin3a sin5x sin7a
-/(a)= s.na + -^ -f- -^- + -^ +....
Je partirai à cet effet du développement suivanlles puissances
croissantes de la variable de la fraction P= >
X — cosa — V — isina
en employant, afin d'avoir une série limitée, la relation
ti — X H a' a^ (t «"(« — x)
Si nous posons
a -— cosa -^}J — isina,
on obtiendra facilement, en égalant dans les deux membres les coefficients de V — '»
sinat . . ^i. :->.. . , -«-le,-.
- = sina -t- xsinaa -+-x*sin3a -f-. . .-t- x" 'sm«a 1 — axcosa -t- x^
j:"|"sin{« -I- i)3c — .rsin«a]
i — ix cosa -H X*
Multiplions maintenant par rf;c, et intégrons entre les li mites — I et H- i; en écrivant, pour abréger,
Z' ^-' x" [sin (/i -f- 1) x — j: sin«a] Wlr " ^/., 1 — 2J:C0Sa -H X-"
et remarquant qu'on a
lorsque l'exposant m est pair, tandis que l'intégrale s'évanouit si m est impair, nous en conclurons
/"^ ' SI n a (7.r 5 := 2 sint
Il reste maintenant à prouver que R„ devient nul pour n infini. Dans ce but, je remarque qu'on a généralement
f{x)dx= j f{x)dx-h f{x)dx,
et qu'en faisant x =^ — x', il vient
jy{x)dx=^-jy{-x')dx\
ou, après avoir renversé les limites et écrit x au lieu de x' ,
j f[x)dx^^j f[—x)dx,
ce qui donne
jyy[x)dx = j\f[x]-^f[- x)-\dx.
Appliquons cette formule à l'intégrale R„, en nous bornant, pour abréger, ce qui suffiL d'ailleurs, au seul cas de n pair. On fera alors
.r"fsinf/? -f- lia — .r sinwai
1 — a^cosa -^ x'-
et, en employant l'identité
(l — aarcosa -{- x'^)[l -+■ 2XC0Sa + ar^)= i— 2^^C0S2a -+- x* ,
il viendra, après une réduction facile,
-.,.-, , Qt.r" sin (/?-+- i) a 2.r"+^sin(« — i)«
^^ ' '' ^ ' I— aar^'cûsax + ^ i — 'i.x'cosix -h x'
Cela posé, si l'on augmente tous les éléments des deux in-
légrales
/ 1 — îx'cosaa -+- X* ' Jo i —
en remplaçant le dénominateur
I— ajr'cosaa -+- x*='(x*— C0S2«)'-+- 8in*aa par son minimum sin'aa, nous pourrons poser
(* ' afdr ^ r^ x^dT Q
^'o 1 — ax'cosaa -+- X* ~ J,, sin'aa ~ (/i-f- 1) sin'aa
jo I — 2x'cos2a-t- X* ~ Jo sin'2« ~ («-H3)sin'2a'
les facteurs 6 et 0' étant moindres que l'unité. Or il en résulte cette expression
1 0sin(/n-i)a 9'sin(« — \)x
2 "~ («-+- i)sm'2a (« -^ 3)sin"2a'
qui s'annule en effet pour n infiniment grand. La série ainsi obtenue
TT sin3a sinSa i ..
±: - = sina H i j h ... -H - R
donne, dans l'hypothèse de a = -> la célèbre formule de Leibnitz,
que j'indique aussi comme un nouvel exemple des suites semi-convergentes deDirichlet, dont il a été question dans le Calcul différentiel, à propos de la série de Maclaurin. Le
nombre n ayant ete suppose pair, on a, pour a= ->
si l'on observe que le trinôme i — a^'cosaa + x* devient alors (i-+-x*)' et a l'unité pour minimum. La formule rigou-
reuse est donc
