IV. Comme dernier exemple, nous nous proposerons l'in

tégrale / — -^- — - — — -, et, en supposant d'abord les

^/ QQ AX — j— 2 xi Jf -f- Kj

coefficients A, B, G réels, nous l'obtiendrons comme il suit. Observant qu'on peut écrire

dx /'+«^ Adx

Aa:'^'iBx-^C J^ [Au: -^B)' -i- AC - B'

et qu'il est nécessaire de supposer AC — B^ positif, pour que la fonction placée sous le signe d'intégration soit toujours finie, je ferai

A^-f-B = z^AC—B\

Cela étant, aux limites — oo et + co de a;, correspondront, pour z, — co et + 00 , si A est positif, en prenant le radical en valeur absolue. Nous aurons, par conséquent,

/♦-^^ dr i^ /•-+-°° dz __ 7Z

J oo Ax-^ -J-Bx ^ C ~ ^AC - B' J-«, i-r-z'^ ^AC - B^

Mais, si le coefficient A est négatif, les limites par rapport à z seront + co et — co , de sorte qu'il viendra dans ce cas

/'-*-=° dx T /^-°° ^g ^

J oo A^'^ iBx ^ G ~ ^AC - B^ J+oo i^^~~v/AC-B^'

Ce procédé n'est pas applicable lorsque A, B, C sont des quantités imaginaires quelconques; soit alors

Aa:'-+- iBx -h C = A{x ~ a){x — b),

nous ferons, en suivant la méthode générale,

Aj:''-r-aBjr-+-G X{a—b)\x—a x~b)^ ce qui conduit à chercher les valeurs de chacune des in-

tégrales / et / r- Or une observation

importante se présente ici ; en faisant a — a -}- (3 v — ' , et employant la relation générale

on voit qu'à cause des limites — oo et -+- oo la partie réelle se présentera sous la forme indéterminée de la différence de deux infinis. Ce point s'éclaircira en partant de l'équation suivante

-+- f arctang ^^-^ - arc tang ~^~ ^\ \/—i,

où nous ferons croître indéfiniment e et yî. On reconnaît alors

que le terme logarithmique tend vers la limite - log — -, et,

quant au coefficient de \J—i, il sera évidemment -^ t: ou — TT, suivant que (3 sera positif ou négatif. En désignant donc un instant par ((3) une quantité égale à l'unité en valeur absolue et du signe de [3, nous pourrons écrire

dx ' I "' irj\ I

Cela posé, on aura de même, si l'on fait 6 = a' 4- (3' y —7,

J—sx — a — pY — I 2 s

et l'on voit qu'en retranchant membre à membre, les termes réels dépendant du rapport arbitraire - se détruisent; d'où

l" Partie. ig

ago CALCUL intégral.

celte valeur entièrement déterminée

£7 (:i^":r-b)* = ''['P'-iP'']^-'-

Ce résultat offre un nouvel exemple de l'expression, par une intégrale définie, d'une fonction discontinue qui ne saurait évidemment s'obtenir au moyen des opérations de l'Algèbre. Si l'on fait, en effet,

/(p, ?') - r^ p— V7= — ^^"Vt^i

<'— 30 |.r — a — pv/ — I or — ^ — P V~'J

flx ,

on aura

/{P,P')-o quand les variables seront de mêmes signes, et

quand elles seront de signes contraires. Plaçons-nous dans ce dernier cas, pour achever la détermination de l'intégrale proposée, et supposons qu'on ail désigné par a celle des deux

racines où le coeflicient de \/ — i est positif. Nous aurons alors

dx

1Tt\/~l

iry-

Aa:'-+- iBx-i-C A(a — b) ^B' — AG

et l'on voit que le signe du radical y/B' — AC devra être choisi

de telle manière que, dans le rapport - — — -(« — b),

le coefficient de y/— i ait le signe 4-. Celte règle s'accorde bien, comme on le reconnaît sur-le-champ, avec le résultat obtenu dans le cas où les coefficients A, B, C ont été supposés réels.

Intégration des fonctions algébriques qui dépendent de la racine carrée d'un polynôme.

Nous savons qu'en désignant par F(^) un polynôme entier, 'expression la plus générale d'une fonction rationnelle du

radical jYTxÏ et de la variable est de la forme G h — ?

G et H représenlanl des fonctions rationnelles. Par conséquent, l'intégrale de cette espèce de fonctions algébriques dépend essentiellement de la quantité

Hr/r

et notre objet est maintenant de donner le moyen d'obtenir celte intégrale dans les cas où elle est exprimable algébriquement, sinon de reconnaître qu'elle est impossible sous cette forme.