I. En partant de la remarque faite que . . se décompose

en termes de ces deux espèces : •> ; jOu

V^F{^j {x — aYslF{x)

les exposants sont entiers et positifs, j'établirai d'abord qu'on a'

P étant un polynôme entier dont le degré est de deux unités inférieur à celui de F{x), et Q également un polynôme entier.

Posons à cet effet

F(ar)= Ax*-^ x\,x*-' H- . . . H- A»,

et considérons l'identité suivante

r/ ï T' K/FJT)^ „ , ,-- „ V'{x) .r»-'r2//F(x)-4-xF'f.r)1

= nx"-' VFIx) -(- x" — ,-^ — — 7===~ ^'•

<^ ^^/F(x) is/¥(x)

Comme on a

2/ïF(x)-H xF'{x) = {2n-+- A-)Xx*H-{in -f- /■ — i)A,j:*-' -+-. . .-^(2« -f- 1) Aj, X -f- a«Aj,

il en résulte, en intégrant, la relation générale

aj:"v/i"'(x'j = (2/2 -+- X-) A / — -t-fo./? h- /- — i)A, / '

dx

dx

J VH^) J v^{^

dont voici les conséquences.

Soit en premier lieu /z = o, on remarquera que l'intégrale

/x~^ dx r x''~^ dx

, disparaît, ce qui permet de réduire / , à la

sJYix) ' ^ «^ J ^Y{x)

forme annoncée. Faisant ensuite ?i = i, on obtiendra à l'aide

/OC dx i et il est

clair qu'en continuant de proche en proche les mêmes opéralions on parviendra à l'équation

r x"d.r ^ rvdx ^ Q /pT-T

J v/fV)"~Jv/F>)^

où les polynômes entiers P et Q sont respectivement du degré ïf — 2 et n — k + 1.

Je pars maintenant de l'identité obtenue en difFérentiant

j/F(^)^ savoir [x — af

d r \/V[x) 1 [x - n)Y'[x)— 'î.nY{x) '^dx\{x — aY\~' [x — a)"*' y/Vîx)

et j'observe qu'en faisant un moment

nous aurons, pour une dérivée d'ordre quelconque cp'^x), cette expression

d'où

PREMIERS PRINCIPES. 2g3

ce qui permettra d'écrire

?(J^) = ?{«)-+- —7—? («) H p— -^(fl)-^...-^'^^^ '^y*(fl)

En remplaçant le polynôme (Sf{x) par ce développement, l'intégration donne donc la relation générale que voici :

{x — ay J [x — af^' ^Y [x]