r F''(^)rfa "^ 1.2 J (X -«)."- VF (X
Or on en lire, pour n = i, l'intégrale
[x— ay\/V\x) exprimée par un terme algébrique, et celles-ci
r cix r Vrh
j{x-«)v/FVj' J s/VÏ^
où le polynôme P est de degré k — ?.. Faisant ensuite n — 2, et employant le résultat précédent, nous ramènerons à la même forme
rix
[x-aY^?{x)
et il est visible' qu'en continuant ainsi de proche en proche, on parviendra à l'équation générale
r dx r xdx r Pdr Oy/FTi?)
J {x-a)"^' y/FV) ~J (x -a) /!>)" "^ J y/PV) "" i-*^ " ")" '
2g4 CALCUL INTÉGRAL.
A étant une constante, P un polynôme entier de degré h — 2, et Q un polynôme entier de degré n — i. Une exception remarquable s'offre toutefois si l'on suppose F(a)=:o, et les mêmes raisonnements, appliqués à la relation
[x — aY J {Jc — a)"\/F
•i^-^n r ¥"{n)d 1-2 J (.r — «)"-'v/FTjf
n] dx
r F''{a)dx J (.r — rt)"-*^VîT^
montrent que l'intégrale
J {x-a)"^'FY^
se réduit alors à
r vdx
J v/fV)
et à un terme algébrique. Ces résultais établis, voici maintenant les conséquences à en tirer pour la question que nous avons en vue.
II. Une substitution simple, donnée p. i5, permet de ramener les quantités de la forme /(^, v'X), où X est un polynôme de degré pair, à une expression semblable, mais dans laquelle le degré du polynôme placé sous le radical est diminué d'une unité, et par suite impair. Nous admettrons qu'on ait effectué cette substitution dans l'intégrale proposée, de sorte que le nombre k, resté quelconque jusqu'ici, sera dorénavant supposé impair. Cela posé, l'intégrale d'une fonction rationnelle de la variable et du radical V^F(^), mise en premier lieu sous la forme
puis réduite à sa partie essentielle
Edx
PREMIERS PRINCIPES. îqS
a été représentée par une combinaison linéaire des éléments
dx
/x'dx r rîx
Enfin ces éléments ont été ramenés eux-mêmes aux suivants :
r dx Cj^^-^ Çx^-^dx r dx
de sorte qu'on a cette expression générale, savoir
dans laquelle P est un polynôme de degré h — 2, f{x) une fonction rationnelle, et le signe 2 comprend un nombre fini de termes relatifs à diverses valeurs des constantes A et a, ces dernières se trouvant toutes parmi les racines de l'équa-
tion u — o. Or on voit que | — — == sera la quantité alge-
brique f(x) ^F{x) lorsque les termes
. r kdx et / -
disparaîtront tous de l'équation; et cette condition, qui est suffisante, est de plus nécessaire, comme M. Liouville l'a démontré le premier (*). La détermination sous forme algébrique de l'intégrale proposée, ou la démonstration de l'impossibilité de l'obtenir sous une telle forme, dépend donc uniquement du calcul de réduction à ces éléments simples, à
savoir
rx"dx
(•) Voyez trois Mémoires de M. Liouville sur celle question dans le XXIU* et le XXIV* Cahier du Journal de l'École Polytechnique, et dans le Journal de Mathématiques de M. Liouville, un travail de M. Tchebychef, intitulé : Sur l'intégration des différentielles irrationnelles, t. XVIII, p. 87.
l'exposant n ayant pour limite supérieure h— 1, et r dx
J [x-a)^/VÎ^) On ïïomxùQ fonctions de première espèce les intégrales
' k~ 3 X * (Ix
/' (Ix r xdx
e\. fondions de seconde espèce celles-ci :
X '* dx I X ' dx /^x'^'^dx
v/F(T) ' J v/t>] ' " " ' J v/ïT^) '
/f — I qui sont en même nombre que les précédentes. Les développements suivant les puissances descendantes de la variable des fonctions de première espèce ont pour premier terme une puissance négative, et ceux des fonctions de seconde espèce commencent par une puissance positive. Les constantes représentant les racines de l'équation F(x)^= o ont reçu la dénomination de modules; enfin l'intégrale
dx
a été nommée fonction de troisième espèce, et la constante a le paramètre. Aucune combinaison linéaire des fonctions de première et de seconde espèce ne peut s'exprimer explicitement par des quantités algébriques, logarithmiques ou exponentielles, en nombre fini. Au contraire, à l'égard des fonctions de troisième espèce, il existe de telles combinaisons dont la valeur est le logarithme d'une fonction rationnelle de x et \/F{a:). L'élude de ces intégrales, sur lesquelles nous venonsde donnerquelques notions succinctes, a une importance considérable dans la science de notre époque. Dans le cas où F{^) est du troisième ou du quatrième degré, Euler et Legendre y ont trouvé l'origine de la théorie des transcendantes elliptiques, qui constitue maintenant une des parties essentielles de l'Analyse générale. Lorsque le degré surpasse cette
limite, on entre dans le champ bien plus vaste de la théorie des fonctions abéliennes, dont Abel et Jacobi sont les fondateurs, et qui a produit les grandes et belles découvertes de Gôpel, de MM. Rosenhain et Weierstrass, et surtout de Riemann, qu'une mort prématurée, comme celle d'Abel et d'Eisonslein, a malheureusemenil enlevé à la science dans tout l'éclat de son talent. C'est dans le Calcul intégral que se trouve donc l'origine de tant de notions analytiques nouvelles et fécondes acquises de nos jours, et l'on y est amené par celte voie si naturelle, et cette idée si simple, d'étudier après les intégrales des fonctions rationnelles celles qui dépendent de la racine carrée d'un polynôme. Le cas où un binôme du second degré seulement figure sous le radical sert de liaison à ces deux catégories d'expressions, puisqu'il suffit d'un changement de variable pour faire disparaître l'irralionnalité. Mais cette réduction demande à être exposée en détail, en raison des nombreuses applications qu'elle reçoit; c'est l'objet des considérations qui vont suivre.
De 1 intégrale / •
J v/Ax'-t-aBx -t- C
1. Je dis que, F(x) étant un polynôme entier du degré m, on a, en général,
r F(.r)r/x r zrlv ^, . ,-— ; -,
J V^AxVaBx-t-C J v/Ax^-^2Bx-i-C
e désigne, dans celte relation, une constante, et$(^) un polynôme du degré m— i. Effectivement, la distinction entre les fonctions de première et de seconde espèce disparaît dans le cas actuel, car la formule de réduction, à savoir
Ax"*'rZr
, r Bx'V/x
J v'Aor'-t- 2B.
x-hC Bx'VAr^
XH-C
y/Ax'-i- 'JlBx -hC
donnera, de proche en proche, en y faisant 71 = 0, i , 2, . . . , la
C x" dx
valeur de l'intégrale | , exprimée par celle-
rrr et utt icmie algébrioue cp(^) v/A^'+2B^+C,
sJkx'+i^x + C b 4 Yv ;v
où ^{x) est un polynôme de degré w— i. Delà se conclut immédiatement la relation annoncée, où le facteur s, qui figure dans la partie transcendante, se détermine comme il suit.
Nous développerons les deux membres suivant les puissances descendantes de la variable, et considérant le premier d'abord, nous ferons dans ce but
Sjkx^ -\- ibx H-C
puis nous ordonnerons par rapport aux puissances décroissantes de X le produit
qui se composera ainsi d'une partie entière et d'une série
infinie
On aura donc pour l'intégrale
¥{x]dx
\/Ax'' -h Q.Bx -+- C
un développement dont tous les termes seront algébriques,
/adx = «log^. Or l'intégrale
r dx C i l- ~ — \
donnera aussi, dans le second membre, un terme de même nature, alog^, tandis que la partie
^[x)\/Ax'' -T- aBx -1- C conduira évidemment à une série entièrement algébrique. On
aura par conséquent
d'où
a étant, d'après ce qu'on a vu, le coefficient du terme en dans la quantité
Dans le cas où le trinôme Aar'+aB^c + C se réduit à la forme i — x^, qui mérite une alienlion particulière, j'observe qu'on aura
I /i II 1.3 I
et, par conséquent, a = ... • Il en résulte ensuite
ainsi la constante désignée par a contient le même facteur - •
La formule e = - montre donc que e est le coefficient de — dans a ^ X
le produit
Mais voici une nouvelle expression de cette constante. Prenant l'intégrale du premier membre entre les limites x — —.\, ;r = + I , la partie algébrique disparaîtra à cause du
facteur \/i — .r% et nous obtiendrons
Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale proposée soit simplement algébrique, c'est qu'elle s'évanouisse étant prise entre les limites — i et h- i. Supposant, par exemple, que F(^) contienne seulement des puissances impaires de la variable, de sorte que, si l'on fait un moment
on ait
La relation
j^^ 'f{x)dx =j' ' lf{x) +/(- x)]dx,
dont nous nous sommes déjà servi, donne sur-le-champ
f[x)dx = o,
de sorte que sous la condition admise l'intégrale proposée est algébrique.
