VI

/.T?dx i r xdx I j ^ ^

/x'dx 4 r ^^dx I ^ , J-

PREMIERS PRINCIPES. 3oi

ei l'on en lire, par des subsliluUons successives,

de sorte qu'en altribuanl diverses valeurs à l'exposant impair, multipliant par des constantes et ajoutant, on aura, pour l'intégrale ainsi formée, une expression algébrique. Nous remarqueronsdanscette relation que le coefficient de ^i — x'' est

formé des^n-hi premiers termes du développement déjà

t employé de(i — :c') S et j'ajoute encore qu'on obtient, en faisant x=zo, x = i, cette intégrale définie :

JÇ^ x'^^'dx 2. 4. 6. ..2// 0 v/r^^x^~3.5.7...(2/?-t-i)*

Si nous posons, en second lieu, dans la même équation, w = I, 3, 5, . . . , nous serons conduits aux égalités

/x^dx \ (* dx I 1 -7 — - / . X\J\. — X^^ /i — j;' '^ J \/\ — x^ *

/x^dx 3 C ■ï^'rt'.r I , I -, — 7 /-—== — -jrVi —^, /T^^T? ^ J yjx-x-" 4

/a^dx 5 /* x^dx i ^ , ,-

et un calcul tout semblable donnera pour résultat

Ici le polynôme facteur de ^i — x^ représente les 2/1 premiers termes du développement, suivant les puissances crois-

3o2 CALCUL INTÉGRAL.

santés de x, de l'expression

2 f"" dx

Effectivement, si l'on prend les intégrales depuis x = q dans la relation considérée, on peut écrire, sans constante arbitraire,

i r-^ dx

T^x' Jo \/i — x'

I r^ x''"dx

sy/i — x^ Jq {/i — x'' Or, ayant

= x^"l I -h - x' H ^ or' -)- .

nous en conclurons

p-^ x'^"dx .r'"+' x^"+^

Jo v/i-^-^ ~ 2«^-l "^2(2«+ 3)

et, par conséquent,

v/r^T? Jo v/i - .r^ ~ \ "^2"^ +--.J \^2/ZH-i ^'2(2«-h3)'^ ■■■/

Ainsi le polynôme

représente bien, aux termes près de l'ordre 2/1 + 1, l'expression

I Ç^ dx

> qui vient de se présenter, peut

PREMIERS PRINCIPES. 3o3

être considérée comme immédiatement connue; la relation d arc siu x i

donnant en eiïet

(Ix

- — arcsino:

Je m'y arrêterai un moment toutefois pour observer qu'en prenant zéro pour limite inférieure, c'est, parmi les déterminations en nombre infini de la fonction arc sinx, celle qui s'évanouit et change de signe avec la variable qu'on doit choisir. Ainsi, en réservant la notation arcsino: pour désigner le plus

petit arc compris entre et H- - dont le sinus est ^, nous