IV. Soit, comme plus haut

z = X ■+- y^—i = p(cosw -+- v'~' sino)),

p élanl déterminé en fonction de w, de manière à donner une courbe fermée S, décrite en entier et une seule fois, en faisant croître w de oi, à o)t 4-2-, Si l'on pose

F{z) = c'ft.(cos<l' H- \/— I sin*),

l'une des racines, a = -4- v^F(2), s'obtiendra immédiatement sous la forme

X + Yv/^= \/â(cosi«l'-4- v/^sin^l'),

et les équations

X = /^cos;*, Y^v/^sin^*,

nous permettront de construire la courbe qui correspond à S. Je suppose donc qu'on ait 4> =: <!>« pour oj = &)g; tous les points de cette courbe s'obtiendront en faisant croître &> jusqu'à la valeur w, •4-2r, et l'argument 0 parviendra ainsi, comme nous l'avons vu, en variant d'une manière continue, à la valeur O9 -t- -iu.-. Or les relations

sini(*„-i- 2ix7r) = {— If sin^4>,

montrent que, a étant un nombre impair, les coordonnées X et Y ne reprennent point leurs valeurs initiales, de sorte que le lieu géométrique relatif à u n'est point une courbe fermée, et qu'il l'est au contraire si a est supposé un nombre pair, attendu que le module ifi, fonction entière de sinw et cosw, conserve toujours la même valeur pour oa = w, et w = c», -h 27:. Ce que l'on vient d'établir à l'égard de la racine u = -\- \/¥{z) a lieu également pour la seconde racine u= — v^^l^), et si l'on construit en même temps les deux courbes figurant la loi de succession de ces quantités, on conclut que, dans le premier cas, le point de départ de l'une d'elles coïncidant avec le point d'arrivée de l'autre, on obtient, en construisant le double système de points, non pas deux courbes qui, l'une et l'autre, soient interrompues et s'arrêtent brusquement, mais une courbe fermée unique. Dans le second cas, au con-

3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

traire, chacune des racines reprenant sa valeur initiale, la construction effectuée donne pour résultat deux courbes fermées et distinctes. La signification du nombre y. conduit donc à ce théorème :

La variable indépendante décrivant un contour fermé, le système des racines de r équation

est figuré par une seule courbe, ou par deux courbes fermées distinctes, suivant qu'il r a un nombre impair ou un nombre pair de racines de l'équation V{z) = o, renfermées dans l'intérieur de ce contour.

La dénomination de non uniformes sera employée désormais à l'égard des fonctions de z, qui diffèrent ainsi des fonctions rationnelles par cette circonstance si frappante de donner lieu tantôt à des courbes fermées, tantôt à des courbes interrompues, suivant le chemin décrit à partir d'un point donné par la variable indépendante pour revenir à ce même point. On nomme, au contraire, uniformes les fonctions qui sont toujours représentées par des courbes fermées, quel que soit le contour fermé décrit par la variable. Tels sont les polynômes entiers, les séries infinies convergentes, comme e% pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de la variable, ou encore les quotients de pareilles séries. Parmi les fonctions non uniformes de nature si diverse dont l'Analyse donne l'origine et la définition, les fonctions algébriques ont une importance particulière; mais, à leur égard, je dois me borner aux indications suivantes.

Considérant en général l'équation F( z, m ) = o, les valeurs de la variable qui lui feront acquérir deux ou plusieurs racines égales jouerontle même rôle que les quantités a, b,..., /dans la question précédente. Ainsi, en faisant décrire à z un contour fermé ne renfermant aucun point qui corresponde à ces quantités, le système des valeurs de n racines u est figuré par n chemins fermés, comme si ces racines étaient chacune des fonctions uniformes. Mais quand le contour relatif à la va-

INTRODUCTION. 3l

riable indépendante comprend un ou plusieurs de ces points, les racines qui, le long de ce contour, sont fonctions continues de z (*) n'ont plus les mêmes valeurs au point de départ et au point d'arrivée. Elles s'échangent alors entre elles d'une certaine manière que M. Puiseux a donné le moyen de déterminer, en se fondant sur la règle célèbre du parallélogramme analytique de Newton (**), dans son beau et important travail intitulé : Recherches sur les fonctions algébriques {***). Il en résulte, pour le système des quantités u, un nombre moindre de courbes fermées, et souvent môme une seule. Ajoutons que ces modes de permutation des racines suivant les divers chemins suivis par la variable z pour revenir à sa valeur initiale tiennent à leurs propriétés les plus importantes, et permettent de reconnaître dans des cas très-étendus, par exemple quand le degré de l'équation F(z, u)=zo est un nombre premier, si elle est résoluble par radicaux. Les points figurant ces valeurs de z, pour lesquelles deux ou plusieurs racines de la proposée deviennent égales, ont reçu, en raison même de cette circonstance, la dénomination de points d'embranchement, de ramification, ou encore de points critiques. Ils constituent, pour les fonctions algébriques irrationnelles, un genre de discontinuité spécial, d'une autre nature que le passage par l'infini, pour une valeur particulière de la variable. Quant aux points répondant à ces valeurs qui rendent ainsi une fonction infinie, ils ont reçu la dénomination de pôles, sous la double condition que l'inverse de la fonction s'annule pour la môme valeur, et qu'elle ne puisse acquérir plusieurs déterminations par suite d'une révolution de la variable autour

de ce point. Par exemple, la fonction a un pôle z = «,

(*) Théorème de M. Cauchy, Nouveaux Exercices de Mathématiques, t. Il, p. 109,

(**) L'objet de cette règle donnée par Newton sous forme géométrique, dans le court Traité intitulé : Artis analjytica specimina i>el geometrica aiialytica, et réduite à un calcul arithmétique simple par Lagrange, est d'obtenir l'exposant du premier terme de chacune des racines de l'équation F(z,k)=: 0 développée suivant les puissances ascendantes de z.

{'**) Journal de M. Liouvilie, t. XV,.i85o.

celle-ci y/z — 6 a un pôle 2 = « et un point d'embran-

chemenl 2 = 6. La fonction e--", qui devient encore infinie pour z = a, présente une discontinuité d'une nature entièrement différente, attendu que son inverse, à savoir : e --", est également infinie pour z = a. Ce point z = ane sera donc point un pôle à l'égard de cette fonction. Enfin, en un point d'embranchement, une fonction peut devenir infiniment grande, sans que ce point soit pour cela un pôle, le caractère essentiel d'un pôle étant, comme nous l'avons dit, que la fonction soit uniforme dans son voisinage (*).

De l'exponentielle et des fonctions circulaires.

I. C'est à l'introduction des exposants fractionnaires, imaginés par Descartes, qu'est due la notion de la fonction exponentielle limitée ainsi au cas où la variable est réelle. Pour l'étendre à des valeurs imaginaires, il a fallu tirer de cette première notion un développement en série suivant les puissances ascendantes de la variable, ou encore cette expression

i-f- — I pour m infini,

et voici comment on a procédé.

En partant du développement démontré seulement pour des valeurs réelles

(f = IH f-, 1 -f- . . . H f- . . . ,

nous ferons cette remarque, que la série du second membre conduit à un résultat fini et déterminé lorsqu'on y remplace X par a ->(- b \j — 1 , Soit pour cela

rt = P cos'f , i — psin<)),

il est facile alors, au moyen de la formule de Moivre

(coS(fi -(- /— I sin(B)"'= cos/wcp -1- \/—\ sinwf,

( *) C. NErMANN, Vorlesiingen ïiber Bleiiiann's Théorie der abel'schen Intégrale.

IMIIODUCTION. 33

d'oblenir SOUS la forme A -•- B \/ — i le résultai de la substiuilion

X = o -^ b\f—\ = p(co8cp -4- /— ^sin'j));

et l'on trouve, en effel,

A = I H- -coscp -f- -*— cosa» -+-. . .H cos/ntp -i-. .. ,

P . P* P'" B = - sin<p -t- -^— sina? -f-. ..h ^ sin///» -f-. . . .

Or, on voit que ces développemenls ordonnés par rapport aux puissances de p sont toujours convergents, et l'on en conclut que la série

délinll bien une fonction dans toute l'élendue des valeurs réelles et imaginaires de la variable.

Un second point à établir, c'est que la fonction conserve à l'égard de ces valeurs quelconques, réelles ou imaginaires, la propriété caractéristique des exposants, savoir

A cet effet, je remplace dans cette égaliié x et r par xx et ar, ce qui donne

et j'observe qu'en supposant x, y el a réels, je suis assuré que les coefficients des mêmes puissances de a sont égaux dans les deux membres, c'est-à-dire d'une part dans le produit ordonné par rapport à a des deux séries

xjc a}T* ix."'.v"'

ay a')-' a"'/'"

et de l'autre dans le développement

En égalant ainsi les coefficients de a", et multipliant par

\" Partie. 3

1.2.., m, on obtiendrait, si on ne la connaissait déjà, la formule du binôme, savoir

.r'" H jc"'-'r -^ ^ .r'" "M"' -h . . . + r'" — {jc -h vY".

Mais ce n'est pas celte conclusion qui nous importe en ce moment; il suffit, en effet, d'avoir entre des polynômes en x et en j une égalité démontrée à l'égard de toutes les valeurs réelles dé ces quantités, pour être en droit d'en conclure qu'elle a lieu pareillement pour des valeurs imaginaires. A la vérité, nous admettons ainsi que le degré de ces polynômes, le nombre m, soit fini et limité; mais la convergence des séries permet de les borner à un nombre fini de termes, le reste pouvant devenir moindre que toute quantité donnée, et la conclusion est établie, comme on voit, en toute rigueur.

II. On vient de reconnaître combien ily a d'avantage à définir

parla série \-\ 1 h... la fonction exponentielle e'.

Telle propriété toutefois, comme celle d'être essentiellement positive pour toute valeur réelle de x, pourra sembler moins facile à voir dans la série que dans la première définition de la fonction où elle est manifeste. Je vais m'y arrêter un moment.

Désignons par cf{x) l'ensemble des m -+- 1 premiers termes, en posant

on trouvera aisément la relation

or elle suffit pour prouver que l'équation (p{x)=o n'a jamais plus d'une racine réelle. Admettons, pour un instant, ■qu'il n'en soit pas ainsi, el nommons a et (3 deux racines xéelles consécutives de cette équation, on trouvera

INXnODUCTION. 35

résultais de même signe, car l'éqiialion proposée ayant tous ses coefficients positifs, les racines a et p, si elles existent, sont l'une et l'aulre négatives. Or, on se trouve ainsi en contradiction avec le théorème de Rolle, de sorte que l'équation (f{jc)= o n'a qu'une racine réelle si son degré est impair, et elle n'en a aucune si son degré est pair. On pourrait certainement faire voir que, pour des valeurs croissantes de m, la racine unique augmente indéfiniment en valeur négative, mais je m'en tiendrai à la conclusion relative au cas de m pair, qui met en évidence la propriété annoncée, puisqu'un polynôme qui n'a point de racines réelles garde le môme signe pour toute valeur de la variable.

III. L'une des conséquences les plus importantes et les pJus remarquables de la notion de l'exponentielle, pour des valeu|3 imaginaires de la variable, consiste à rattacher à celle fonction les quantités sino: et cos^, à l'égard desquelles j'admettrai los développements en série

sinx

cosx = I —

que donnent aisément leurs propriétés les plus élémentaires. Il suffit, à cet effet, de changer x en x\J—\ dans la série qui représente e*, ce qui conduit à la relation

c'est-à-dire

e*^-^ = cosx -h y/— t sinx.

On aurait de mérrie

e""'"' = CO8X — yj—i sinx,

el l'on en lire ces formules, savoir

cos.r = '-

ix<J-\

C'est à Euler qu'est due la relation si importante

t''^~' = cosx -H y/— 1 sin^r,

et qui va nous donner la' définition de la fonction logarithmique pour des valeurs imaginaires quelconques a-\-h\j—\. Nous allons, à cet effet, déterminer toutes les solutions de

l'équation

(f~ a -\- b \/ ~i, en supposant

ce qui conduira, en vertu de la formule aux deux équations suivantes

dont il faut avoir toutes les solutions réelles. Or, en élevant au carré et ajoutant, Hvient

er^ = a' -f- U^.

et, par suite,

en excluant la valeur négative du radical, afin de rejeter les valeurs non réelles de x, qui sera, par conséquent, le logarithme népérien arithmétique de \ja'^+b'^. De là suit que l'angle j sera déterminé à la fois par ces deux équations

cos>- = > sini- = . •

^Ja'+b^ •" ^a'-i-b'

Elles donnent un seul et unique angle a ( * ) entre les limites zéro et an, et pour solution générale

j = a -I- a/îT,

k étant un nombre entier quelconque. C'est la présence de cet entier indéterminé qui conduit à attribuer à la fonction logarithmique, considérée sous le point de vue général auquel nous sommes placés, son véritable caractère analytique de fonction susceptible d'une infinité de déterminations. Et l'on observe que ce caractère se présente même à l'égard des logarithmes des quantités réelles; car en supposant dans l'équation que nous venons d'obtenir

log(rt -+■ b\/-i ) = log v/«^-»- b^'-+-[x -+- 2/77) /— I ,

6 = o et a positif, ce qui donne <x = o, on obtient encore une

infinité de valeurs log« + a/ru y/— ', dont une seule réelle pour ff = o. Ainsi s'explique l'impossibilité d'avoir pour \ogx un développement en série toujours convergent, quel que soil X, comme on l'a obtenu pour sina:, cos^, e*. Un tel développement ne pourrait convenir qu'à une fonction uniforme, et bientôt, en effet, en établissant l'équation

, , X* JT* .r'

log(.-H.r) = .r---f----+...,

nous verrons qu'il faut la restreindre aux valeurs de la variable dont le module est moindre que l'unité.

(*)0n doit à M. Wiiickler la remarque suivante : Soil a =:^ sA, è—y)h, £ et >} étant é^aux à -<- i ou — i, de sorte que A et R représentent les valeurs numériques absolues de a et b, l'angle « sera déterminé par l'équation

tit , A

»■=- — h it} arc tanp - »

l'arc dont la tangente est — étant positif et moindre que — • Dans le cas de a

ou b nul, I ou 1} devra être pris égal à l'unité ( Ueber einige Gegemtànde der elementartn Analyils ; Acad. des Sciences de Fienrie, iSliy).