TT , TT

- et H- -

écrirons

= arcsin.r.

On en conclura donc, sans aucune ambiguïté, •6 ,/. /»*

/•* dx C^ dx C"" ''"^ • u •

I ■ — 1 — r = arcsino — arcsm»,

et en particulier, par exemple

C'est à cette intégrale qu'il convient le plus souvent de ramener la suivante

dx

^Xx'-t- 'iBx -t- C

lorsque, les racines du trinôme étant réelles, le coefficient A est négatif. Faisant, en effet,

Ax«-T-2Bx-hC = A{j: — a)(x — P),

nous poserons

at ^ 6 a — S X = i t.

3o4 CALCUL INTÉGRAL.

et il viendra

r dx I ç dt

J ^Xjc'-ha.Bx-h C ~ v''^^ J /i^^^^' '

Au reste, et dans tous les cas, elle s'obtient sous forme finie explicite par la substitution

qui donne en différentiant, après avoir chassé le dénominateur,

{A — 0')dx = i{x~oc)0d9.

Or on a

A{x ~oi]{x — p) = {x- xY(i\

d'où

\/Ax''-r- iBx -t- C = (x — a)6 ;

on en conclut donc l'égalité suivante

dx id^

et, par conséquent.

dx I , ô 4- v/A I , \/x — B-\-\/x — a — —HZ log ■ -— = -— log r V

v/Ax^-t- 2B^ - C v/A e - /A /A /^ - p - v/^ — a

pour le cas de A >> o. Le cas de A <; o donne lieu ensuite à ces transformations successives

r arc tang --=: = -—r:^ arc sin

v/Aa--^-+-2Ba; + C /-Â v/— A \/~A A- 9'