I .Qi.r — a— B I .A^-l-B

= , arc sin — ^ ■- arcsin , •

v/-A ?-'^ v/— A v/B-AG

La même substitution s'obtient en considérant la courbe du second degré j= y/Ao;' + 2B;c + G comme unicursale, et déterminant ses points individuellement au moyen d'un faisceau de droites issues d'un point quelconque ayant pour coordonnées ^ = «, j = v^A«'H- 2Ba +C. Supposons d'abord réelles les racines a et [3 du trinôme; en prenant en particu-

PREMIERS PRINCIPES. 3o5

lier a = a, le faisceau aura pour équation

et l'abscisse du point unique d'intersection variable sera donnée par l'égalité

v/Ax*-t- aBx -!- C = (x — a ) 9,

d'où l'on tire, comme précédemment,

J'ajoute que, s'il s'agit d'une hyperbole, A étant positif, on peut employer des parallèles à l'une des asymptotes, à savoir

Ax-t-B

Nous n'aurons encore en effet qu'un point d'intersection dont l'abscisse s'obtiendra en posant

V^Ax'-(- aBx 4- C = 0 — — — = — ,*

ce qui conduit, en élevant au carré et réduisant, 9 l'équation du premier degré

Or il vient, en différenliant,

fo-^'^-^\(iO-B/Xdx = o,

c'est-à-dire

v/Ax'-t-2Bx4-C dO — ^\/Âdx = o, d'où

dx d9

v/Ax'-i- aBx -+- C Q\/X et, par conséquent,

//A ^ '^R ir^ = ^^ - ^log{Ax -^ B-/Â/Ax'4-2Bx-hC), J V^x-'-t-aBx-HC v^ /A

expression qu'on ramène aisément à celle qui a été obtenue plus haut.

!'• Partie. 20

3o6 CALCUL INTÉGRAL.

Des intégrales

J (x — aY+' v/AxV 2B^H- C'

r^' dx

J, [x — a)yj\ — x''