I. La substitution x = a donne

n dx r (-i)"zVz

J [x- «)"+' v/Ax^+2Bx-4-C ~ J v/Gz'^2Hz-+-K'

en posant

G = Aa'+2Ba-i-C, H = — A«-B, K = A,

et l'on est ainsi ramené aux cas qui viennent d'être traités; mais un autre changement de variables aura l'avantage de conduire directement à l'expression de l'intégrale. Il se tire de la transformation du trinôme homogène du second degré

A x' -H 2 B 07/ -t- C J ' par la substitution

et, en faisant D = B'— AC, de l'identité bien connue

(«^ p^YQ ^ [Aap -+- B(a(î -+- P7) H- Cv^]'

- {Aa=+ aBav + C7') (Ap'4- 28^^ -4- C^').

Comme cas particulier, j'obtiens en effet la suivante, savoir

[x - «)'D = [Aax ^ B (a + x)+ C]' - G (Ax'-+- 2B^ + C) ; elle montre qu'en posant

{x — a)t^ kax -H B (« -1- x) + C — v^G s/kx""-^ 2Bx -+- C , on aura

^•^~''^^ ^ kax + B(fl + j:)4-C-h\/G /Aa:»-i- aBx -4- C ,

PREMIERS PRINCIPES. 3o']

ei, par suite, en ajoutant et retranchant membre à membre,

(j: — «)(f-)--j = a[Artx -f- B(a •+- ar)-f- C],

de sorte que la variable a: et le radical v'A^'+ aBx ■+- C pourront s'exprimer en fonction rationnelle de t. Or écrivons

Xax -hBla -{- x]-hC

X — a d'où

il viendra en différenliant, et après avoir changé les signes,

Gdx I f D\r/f

on en tire aisément, si l'on multiplie membre à membre avec l'équation

ce résultat

\/Gflx dt

{x — a)\/kx'-^-i^x-^C *■

et nous en conclurons la transformée suivante de l'intégrale proposée

Soient maintenant n„nj,... les coefficients-) )• • • de

la puissance n""' du binôme; je distinguerai dans le développement de l'expression

deux espèces de termes: en premier lieu, ceux qui contien-

3o8 CALCUL INTÉGRAL.

nenl la variable, et qu'on peut évidemment réunir par groupes, tels que

I étant une constante; ils donnent dans l'intégrale la quantité

\Xrix -hB[a -\-x)-hC — y/Gy/A.r-'H- iBjc -f- C]'

lix — a

[\ax + B(fl -+- -r) + C -f- y/G y/A.r^-f- aB.r + C]' i[x — a)'

et leur réunion constitue la partie algébrique sous la forme

F(.r)v/Au'-t-stB.r + G [x-a)" '

F{x) étant un polynôme entier. Nous envisagerons ensuite les termes indépendants de t, fournis parles puissances paires

{ t-\ — 1 ) a savoir -. D'; ils donnent le fac-

leur de la partie transcendante / — = \ogt sous la forme sui-

vante

/^, (/ + !)(/+ 2)... 2/ jj.jj„,,

OU encore, d'après une transformation déjà employée,

le nombre i prenant toutes les valeurs de zéro a - ou »

suivant que n est pair ou impair. Nous parvenons ainsi à

l'expression générale de l'intégrale, savoir

(x — fl)"+'v/Ajr'-(- aB^-f-C

-,, Artjr H- B(« -+- jr)-f- C — v^G i/Ax'-h aBx-i- C

= N log — - — ^ ^ —

F(jr) y/A'-r'-t-aBj + C

Soit, par exemple n =; o; la partie algébrique disparaît : on a donc simplement

Ç G^clx ^A/yjr-i-B(^/H-x)-hC-v^Gv^Ajr'-«-aBx-i-C.

J {X— a) v/ÂxVâBxTC ~ " X — a

Nous remarquerons que la fonction placée sous le signe log se reproduit au signe près lorsqu'on permute x el a; c'est l'origine d'une proposition importante dans la théorie des^ fonctions elliptiques.

II. La constante N, dont l'expression vient d'être donnée, peut être obtenue par une autre méthode sous une forme différente, qui conduira à un th('>orème remarquable d'Éuler.

Reprenant, à cet effet, la relation

/' ^l}^"" _____ f ^gKjx [x - a)"+' v^Ax'H-aBxH-C ~J(x — a) ^Xx'-i-

2Bx -^- C

F4x)\/'Xx'-+- aB-r — C "^ [x — a)" '

et supposant x=: a -+- z, nous développerons les deux membres suivant les puissances ascendantes de z. Or ayant fait

G = Art»-f-2B«-f- C,

la série de Taylor donnera d'abord

I '^ z' rl'G~ '

3lO CALCUL INTÉGRAL.

ei il en résultera pour l'intégrale

X — «)"+' v/Aa?'-t- ibx-\-Q.

une série infinie dont tous les termes sont algébriques, un seul excepté, à savoir

r dz z" rf"G~^ logz <f"G'»

j z""*^' 1.2. . .« da" ~\.%...n da"

Quant au second membre, l'intégrale

[x — a) \^kx'-f- i^x -h C

conduit aussi à la quantité analogue logz.G %• et comme aucun terme transcendant ne peut provenir de la partie algébrique

F(.r)v/Ax^-+-2B.r-f-C

1 ûi '

[x — aY

nous devrons égaler les deux coefficients de legs, et nous parvenons à l'expression suivante