III. En supposant encore
Aa:'-+- 2Bx -i- C = 1 — x',
PREMIERS PRINCIPES. 3ll
nous allons maintenant déterminer la valeur de l'intégrale définie
à l'égard de laquelle nous observerons tout d'abord que la constante a doit être supposée supérieure à l'unité afin que la différentielle ne devienne pas infinie entre les limites — i et f- 1 de la variable. Nous admettrons, de plus, qu'elle est positive, et nous ferons
d'où, pour l'expression de l'intégrale indéfinie.
i\/à' — idx , I — ax — iJa' — i v^i — j;^ = log ~ — - —
Cela posé, soit X la partie réelle, et Y le coefficient de i dans la quantité imaginaire placée sous le logarithme; en nom- ^ mant R le module, et 6 l'argument de X + iY, nous pourrons écrire
i yJà^ — I dx , „
= logR
Or on conclut des équations
R' = X'-|-Y'= I, par conséquent logR = o, et il vient, en supprimant le facteur i,
y/à' — I dx
Il suffit donc maintenant de reconnaître comment varie l'angle 0 lorsque x croît de — i à + i . Ayant, à cet effet, construit le. cercle X'-i- ¥'= i, je remarque qu'on a
rfX n*-\
dx ~ [x ~ a)'
3ia CALCUL INTÉGRAL.
de sorte que X croît toujours avec x; d'ailleurs Y a le signe de sja'—i et sera positif si, pour fixer les idées, nous prenons le radical positivement. Il en résulte qu'on décrit, dans l'intervalle considéré, la demi-circonférence placée au-dessus de l'axe des abscisses depuis le point A {fg. 28), dont l'abscisse Fig.28. est — I, et correspond à la limite
inférieure x=^—iy jusqu'au point diamétralement opposé B, donné à la limite supérieure ic = -f- i. L'argument 0 de X H- i Y pour un point M, dont les coordonnées sont X et Y, étant l'angle MOB, est donc, à l'origine, égal à deux droits, puis arrive en dimin ;ant Jusqu'à zéro pour ;r = i, La différence des valeurs qu'il reçoit aux deux limites de l'intégrale étant — tt, nous avons
y à' — 1 dx
J , [x — a)\Ji — X
et, par conséquent.
dx
[a — x)\/\. — x^ \Ja^—i
Voici quelques conséquences de ce résultat. Développons d'abord les deux membres suivant les puissances descendantes de a, il viendra ainsi
/r II 1.3 I 1.3.5. ..(2« — i) I N
~ \a 2 a' 2T4 a* *" 2.4.O.. .in «^"+'^'"'7'
et nous obtiendrons, en égalant les termes en ——-■
