II 1.3 I

^ ' \n % a* 2.4 rt* /

proposition déjà obtenue, page 299.

IV. En dernier lieu je remarquerai, relativement à la substitution déduite de la propriété caractéristique de l'invariant des formes du second degré, à savoir

kax-\- B(a-+-x)-i-C— }/^ ^kx^-i~ aBx-t- C X — a

qu'en considérant encore comme unicursale la courbe du second degré

X= ^kx^-h aBx-t-C,

on serait facilement parvenu au môme résultat. Effectivement, une sécante issue d'un point de la courbe

x = a, y= v/Aa*-t- iBa H- C = v^

a pour équation

de sorte que l'abscisse du point variable d'intersection est

3l4 CALCUL INTÉGRAL.

donnée par la relation

{/Ax'-hiBx-t^C— v/CÎ = {x — a)9.

Remplaçons le coefficient angulaire 6 par une autre variable /, en faisant

et celte relation deviendra, en changeant les signes des deux membres,

\/(i — v^Au;'-!- T.Bx -r- C~(x — a) — -^r-

Or il suffit d'observer qu'ayant

G = A«'-+-aBrt + C, H = -A« — B, il en résulte

G— (x — «)H = kax ■+- B(« -f- x)-+-C; de sorte qu'on retrouve précisément la valeur

Aux -+- B(q -+- j:)-f- C — y/G \/Xjr^-h aBx -f- C

Applications.

I. Afin de donner quelques exemples des méthodes et des résultats qui précèdent, je vais déterminer la valeur de ces deux intégrales définies, où a et [3 sont des constantes qu'on supposera inférieures à l'unilé, savoir :

ffx

/-+- ' (i — ax)(i — (3.r) dx

^ (i - :iax -^ a}){i - ipx -h p^) y/i^T^

A l'égard de la première, je partirai de la formule

r,— !^^^=r:r=. = -^log(Aa;-+-B-t-v/Âv/Ax'-H2Bx-^C), J v^Ax'-^iBx-^-C v/A

PREMIERS PRINCIPES. 3l5

en faisant

Ax' H- aBx -^ C = (i — 10LX -+- a'){i - i^x -+- p»), ce qui dormera, si l'on égale les dérivées des deux membres,

Ajt -i- B = — a(i— ipx -h^') — P{i— ixx -h x').

On en conclut que la fonction

Ax -H B -H v/Â \/Ax^ -T- iBx -t- C prend, pour x = i, la valeur

- a( I - P)» — P(l - a)» -t- 2 v/âF(i - a) (l - P)

et, pour jr = — I, celle-ci :

- a(i -+- p)»— P(l -h a)'4- av^^{i -i- a) (i ^ P)

de sorte que l'intégrale définie entre les limites — i et 4- 1 se réduit à celte forme très-simple :

, ^l—%xx-i-a^^i—'2px-i-^' \/txp i y/ap

Passant maintenant à la seconde, il faudra, d'après la méthode générale, décomposer d'abord en fractions simples la fonction rationnelle

(i — ax)(i — Px) (i — 2ajr H- a')(i— îpx-f- p')'

dans laquelle, le numérateur et le dénominateur étant du second degré, la partie entière sera simplement une constante, et nous ferons en conséquence

(I — aax-t- a*)(i — afx -i- p*) i — 23tjc-i-a' i — ipx-i-p'

Cette constante s'obtient en faisant x infini, et a pour va-

3l6 CALCUL INTÉGRAL.

leur -j\ on trouve ensuite aisément

I (i- a')(2a— P- pg») -4 (a -S) (1-4) ^

Cela étant, la formule

ou plutôt celle-ci, en remplaçant a par—»

/"+■ dx

donne sur-le-champ

dx Tz 2 a — |5 — (5a'

axxH-a')v/i-x' 4 (a - i^)(l-a^)

d'où

V i (i-2ax^)v/i-x'"^ J, {i-i'^x+p')^7^1?~^ '-4'

et, par suite, cette valeur très-simple :

X(i — a.r)(i — ^jc) rf.r

- , (i- 2aj:+a^j(i — 2p^+ t') ^,11 ^-^

TT / 3— a[r\ TT 2 — a6 ~4\ I — a(iy~2i — a^

II. Les deux résultats que nous venons d'établir dépendent seulement du produit a[3; c'est là un fait analytique important, dont je vais, en quelques mots, indiquer les consé-

PREMIERS PRINCIPES. 3l7

quences, mais en considérant seulement la relation

dx 1,1-4- i/î^ = -== lof -

Soit à cet effet , en développant suivant les puissances croissantes de a,

yi — aax -h a' ■»

je remarque que le coefficient de a" est un polynôme entier du /i'*"' degré en x\ car en changeant « en - pour y supposer ensuite x infini, le premier membre se réduit à

d'où resuite que — —t prenant pour x infini la valeur finie

T. > est bien du degré n en x. Cela pose, on aura

de même

v/i — apx-^^'

et SI, après avoir développe -pzr log -=j on égale les

ya^ I — va[3

coefficients des mêmes termes dans la relation

/ rfar[i-i-ax-4-...4-a"^„(x) 4-...] [, -h ^jr -^...~>r^'"^„^x)-r...\

on trouve, pour n et m différents,

et, pour m ~n,

3l8 CALCUL INTÉGRAL.

Or, en ajoutant membre à membre les diverses égalités

après les avoir multipliées par des constantes A», A„ . . . , A„, on trouve la condition

j ?«+.W[Âo?„W+A,'j'„,(T)-^A,'f„,(x)+...-^A„(p,(x)]r/j::= o,

où le facteur

peut représenter un polynôme quelconque du n'*"" degré, et cette condition, comme on l'a déjà établi, a pour conséquence que 9„+,(^) ne diffère du polynôme X„+i de Legendre que par un facteur constant. On a en effet l'égalité

11= i-f-aX, + a'X,-l-...H-a"X„-t-.. .,

ï ' •' ni

qui a servi de définition et de point de départ pour la théorie de ces fonctions, la démonstration que nous venons de donner des deux théorèmes

étant celle de Legendre. {Exercices de Calcul intégral, t. III, p. 247.)