INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

En désignant par f[x) une fonction rationnelle de la variable, et par/(sin^, cosar) une fonction rationnelle de sino: et cos.r, les seules expressions, dans le champ infini des quantités transcendantes, dont nous puissions aborder l'intégration sont celles-ci :

/(sinjr, cos^), e"'f[x), e'"'f[s,ïnx,cosjo),

et nous n'aurons point, pour parvenir à notre but, à exposer des principes nouveaux, ni des méthodes propres qui en soient la conséquence. On va retrouver, en effet, d'une part la décomposition en fractions simples, et de l'autre le procédé pour obtenir, lorsqu'elle est possible sous forme algébrique, l'intégrale d'une fonction dépendant de la racine carrée d'un polynôme. Il ne sera pas toutefois sans profit d'employer ainsi, dans des conditions différentes, les méthodes qui nous sont déjà familières; elles recevront de ces applications un nouveau jour qui en fera mieux saisir la portée et le caractère. On verra surtout comment cette recherche des procédés d'intégration conduit naturellement à approfondir, au point de vue de l'Analyse générale, la nature des expressions {fsinx, cos.r), qui sont le type des fonctions périodiques, en

préparant ainsi ce que nous aurons à dire, dans la seconde partie du Cours, des fonctions à double période.

De l'intégrale / / ( sin.r, cosr ) dx.

I. Nous partirons de la transformation en une fonction rationnelle de la quantité transcendante /(sin^, cos^), qu'on obtient en posant

De là résulte, en effet,

Sinj: = 7=' cosx — ,

de sorte qu'on peut faire

/(sinx, cosj:)==-prT^;

F(z) et F,(z) désignent des polynômes entiers en z. Cela posé, je vais montrer que de la décomposition . en fraclions simples de la fraction rationnelle „' , résulte une dé-

composition, en éléments simples, de la fonction transcendante qui en donnera semblablement et d'une manière immédiate l'intégration. Considérant, dans ce but, la quantité

. — 3~y;» qui est le type des fractions simples, je pose

ce qui sera toujours possible en exceptant le cas de a = o, et je remarque qu'on aura

«V~ / .r—f.\ — I — /col )i

c'est une conséquence, en effet, de la relation

COt- -— yJ —\

fe Partie. ^l

mise sous la forme

-zi: =^ - ( — 1 — /■ COt - ) ;

quand on y change x en x —- a. De là résulte une première transformation du groupe des fractions partielles

z — a [z — ay (z— a)"+'

^ jj

en un polynôme entier et du degré « 4- 1 en col *, mais

nous pouvons faire

r/cot.r

COt'x =r — I

(/je

COt X — — COtx H j~rr-:

et la relation identique

I «/cot*.r

COt*"^'* = — COt*"' X

A dx

montre que, de proche en proche, on exprimera linéairement COt" a: au moyen des dérivées successives de cota; jusqu'à celle d'ordre n — i. Nous parvenons donc à ce nouveau résultat, savoir

z — a {z — aY ' (z — fl)""^'

^ , ,,, X . dfM\.\[x — aL\ d* ç.Qi\[T — ■A = C-H^C0ti(x-2)^X. ^-^ ^...^»V„ j^^ ,

les constantes C, X^ <A)i, ... A>n dépendant linéairement des divers numérateurs A, A„. . ., A,. Ce point établi, je mettrai en évidence, si elles existent, les racines nulles du polynôme F(z) en faisant

F(z)=2-+'(z-fl)-+'(z-6)^'...(z — /)«',

et je modifierai la formule générale de décomposition en fractions simples en réunissant à la partie entière du quotient

PREMIERS PRINCIPES. 3a3

~-^ les fractions parliellcs en -■> — > • • > '\,^.'> de manière à r ( 2 ) z z z

avoir

z — b (z — by '" (z — hf

où ^{z) sera, par conséquent, delà forme irt*2* avec des puissances enlières, mais positives ou négatives, de z. Maintenant nous conclurons de cette formule élémentaire, en revenant à la valeur z~c*v/-', l'expression suivante de la fonction /(sinj;, cos^). La quantité ^{z), devenant d'abord

la^e"'^'* — 2rtj(co8Xx -f-v^ - isinA-x),

nous donne une première partie, que je désignerai par n(^), et qui en sera considérée comme la partie entière. Les fractions partielles donnent ensuite une seconde partie ^{x)^ qui, en posant

aura la forme suivante :

*(x) — const.H-Xcot{(x — a)-i-X, j ■ -f-...-i-X, —-^ ■

La détermination des coefficients X, Hb,. . ., ^-i X,, oïl,,.. . rendra plus complète encore l'analogie de la formule que nous venons d'obtenir

/(8in.r, cos:r) — n(x)-i- ^[x)

avec celle de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

II. Je ferai, dans ce but, en ayant en vue le groupe des coefficients .^D, -Jio,,. . ., -Jl>„, x=:a-{- h, ei je développerai les deux membres suivant les puissances croissantes de h. Or, les séries provenant ainsi de la partie entière et de cot|(^— |3), ..., cot|(^ — X) ne contiendront que des puissances entières et positives de A, tandis que la quantité coi{{x — oc) et ses dérivées donneront un nombre fini et limité de puissances négatives. Nous avons, en effet,

cot-

et, comme la dérivée de h prise par rapport à x est l'unité, on déduira successivement de cette relation

cot -=:---

3bo

dco\,\ [x -