II

r/= cot \ {x dx""

et en général, si l'on n'écrit point les puissances positives de A,

Le développement du second membre Jl{x) ~\-^{x) se composant ainsi des termes

rju oAo, i.ix, , ,1.2../? XI

et d'une série infinie de puissances positives de h, nous obtiendrons les coefficients X, JU,,. . . Jl,„, en formant la parlie du développement du premier membre /{sin^, cos^) qui est composée des seules puissances négatives de h. Supposons à cet effet

j-Y • I 7\ I 7n1 A A, i.aA, , i,2../?.A„

on aura immédiatement

*l) = - A, Jlo, = - A,, . . . , X„ = - A„,

et j'ajoute que, si l'on multiplie membre à membre l'égalité précédente avec celle-ci, que donne le théorème de Taylor,

„„♦!/ i\ ,,, \ h (l col ^{.r — 01.) h^ (Pcol~{x — a)

COl^lx — OL — /i)= col Ux — a) ^ --h 7^ ■ — •••

' "^ ' i dx l.a dx'

, ,„ h' tfcol\(x — ai)

on trouve pour le coefficient divisé par deux, du terme en

y î précisément

dcol\[x — a) r/"cot^(.r — a)

\^o COtj(a: — (x) -^ ,X}^

dx • » fijf^

Le groupe total des éléments simples, se rapportant à la quantité ^ = a qui rend infinie la fonction proposée, est ainsi , le demi-résidu, correspondant à A = o, de l'expression

/ sin (a -f- //), cos(a -+- A) j cot

résultat analogue, comme on voit, au théorème de Lagrange démontré dans l'Introduction (p. 6).

IIF. Après avoir jusqu'ici suivi pas à pas la théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, nous allons introduire une considération nouvelle qui a son origine dans la propriété caractéristique de la transcendante f[smxy cosar) d'être périodique. Je remarque que, d'après la relation

cot - ~ cot X -t- cosec x,

la fonction ^{x) s'exprime en termes de deux formes, à savoir

(C col{x — ol) ^ d" coséc ( .r — a )

73i et 7^- 7

dx" dxf^

les premiers ayant pour période tz et les autres se repro-

duisant en signe contraire lorsqu'on change x en .z- -h tt. Or, à l'égard de

n [x) = léd^ (cos/.r H- y/ — I sin fcx)^ si l'on fait

S [x] = 2rt,^^ [cos-ikx H- y/— I sin ih-x) et

n [x) = ■^«21+1 [cos(2 k -i-\] X -^ \J — I sin (2 /• 4- i) a:],

en réunissant d'une part les termes contenant les multiples pairs, et de l'autre les multiples impairs de la variable, on aura de même

6 (.r-i- tt) = Q (a:), in[x -^t:) = —Tn{x).

De là résulte la décomposition de la fonction proposée en deux parties Ç>{x), H(a:), de sorte qu'on aura

/(sin X, cos^) — 6 [x) -h H [x]^

avec les conditions

0 (^ -+-. 7r) = © [x), H (j: -i- Tf) = - H (^),

les expressions des nouvelles fonctions introduites étant

e{x) = 9(.r) +Xcot(ar- a) + X, ^-^ ^-i- . . .+ X„ ^^^j;^ ^

„ . , . r/cot(^— 3) 0 dPcot{x—p)

p ,, -,. p r/cot(.r — >) „ d'cot{x — l)

et

„, . , N « , , X « «-/cosécf.r — x) <'/"coséc(.r— a)

H(x) = >î(j:)H-JoCOSec(a; — a)-4-Jl,, h-...-t-X„ r-j; ■

r, , , „, r/coséc(.r— 6) „ r^'cosécf^— 6) -ha(bcosec(x-p)+Dl„ ^- — ^^...+1)^ ^:ïir-^

p , , ^, p r/coséc(.r— >) „ r^''coséc(^— )-)

+Ccoséc(a:-).)+4L. ^^ + -+-t, j^

Nous voyons donc apparaître deux éléments simples distincts coi^ et coséc^ ou — — 5 appartenant en propre aux fonc-

lions dont la périodicité est celle de (d{x) ou U{x), au lieu

de cot - qui, dans le cas général, a le rôle de la quantité - à

l'égard des fonctions rationnelles. C'est par les applications qu'on reconnaîtra surtout l'utilité de ces distinctions, et pour commencer par un cas facile, j'envisagerai d'abord la fonction

cosa — cos^

J'observe en premier lieu qu'en introduisant la variable z r= e'v/^, il vient

cosx — cosx "~ azcosa — i — z'

Or les racines du dénominateur sont évidemment les quantités e'\/-', e-«\^-' , le numérateur est seulement du premier degré; ainsi la partie entière n(^) n'existe point, et nous aurons