IV. Les formules

COS.r =

siriJ" = 7=

conduisent à transformer l'expression z = sin'-.r eob*-r en une fonction linéaire des sinus ou cosinus des arcs multiples de ^, lorsque les exposants a et b sont entiers. Pour obtenir ce résultat, qui sera employé dans le Calcul intégral, je pose pour un instant t = e'^-' et a-hb = n, ce qui donnera

et, en chassant le dénominateur,

1'^W-i]"rz = {t^-y)"{t'+^)".

Or le second membre, ne contenant que le carré de i, peut être développé sous cette forme

les coefficients a», a étant des nombres satisfaisant, comme

je vais le montrer, à la condition suivante

Écrivons, en effet, pour abréger,

puis changeons t en -, et chassons le dénominateur, il viendra

ce qui reproduit dans le premier membre l'expression proposée multipliée par le facteur (— i)"; or, l'identilé

(- \Y 1 oc. t '('-•)= ly..t''

donne bien, en égalant les coefficients de r^' de part et d'autre, la relation annoncée. Uevenons mainienantà l'expression de ^

qu'on trouvera, en divisant le polynôme (/'— i)''(/'-i- i)* par /", sous cette forme

et, considérant d'abord le cas où le nombre a est pair, ce qui donnera

je I écrirai ainsi

en laissant dans le second membre, quand n est un nombre pair, le seul terme a, indépendant de /. J'observerai en-

suite qu'on a généralement

tv- — cv-' ^-^ = coSfxx -+■ /— I sinpt.r, — = f-l"»^-! coSfx.r — \/—l sinf/.r,

d'où

tV--^ — = 2C0iif*.r,

de sorte qu'on en conclut immédiatement la valeur de z sous la forme annoncée, savoir

2" (— 1)' z = aa^, coé II X -\- ix^ cos(« — 2) .r -)-... ,

le second membre contenant, comme il a été remarqué plus haut, le ternie a, indépendant de a-, quand n est pair.

En second lieu, si l'exposant a du sinus est impair, ce qui

donnera

«. = — ^„-,> nous écrirons

le second membre ne renfermant plus comme précédemment, pour n pair, de terme indépendant de /, car la condition à laquelle satisfont les coefficients donne, pour / = -♦

4o CALCUL DI^FÉRENTIEL.

a„= — a„, c'est-à-dire a„ = o. On en conclul encore immé-

dialemenl, en employant la relation et, divisant par \J — i,

i" [— \) * z = aa^ sin//j: -H 2a, sin {// — 2) .r -H. . . .

Il ne reste plus qu'à déterminer les coefficients a„, a,,...; or un premier moyen serait d'effectuer la muliiplicaiion algébrique des puissances (^ — 1)" et {x + i)*; mais en voici un autre. Soit

on aura

logJ=«log(^— l)+ ^l0S(.r-f-i),

et, en prenant les dérivées par rapport à x.

y X — I X -\- \ d'où

j'(j7'-i) =zyWa^h]x^a — b\

Substituant, dans cette relation, les deux dévelop|)ements

y =^ a, a:" -t- a, .r "- ' 4- y.^ x«-' + . . . , y' = /ix^x"-' -f- (//,) a, x"-^-h... ,

et faisant de suite a» — i, on en conclura, en posant, pour abréger, b — a=z p,]es relations qui suivent

dont la loi est évidente.

Soient, par exemple,

ces relaiions deviendroiu

a, ^ 3, 2a,= 3a, -7, Sa, = 37., — Ga,,

d'où

Xj = a, a, = I, *j ^= ''t

et on en conclura la relation

a'sin'xcos'-f = — cos7.r — 3 cos5x — cos3.r + 5 cosx;

on irouverail de même •

2.' &\n^x cos'jT = — sinSx — u sin G.r -+- 'i sin4.^-t- G sin^x, a'8in*xcos*x = cosiox-t-acosS.r— 3co6G.r — 8cos4-p-H2 00S2.r-(-6.

L'expression générale des coefficients x n'est connue, d'après l'équation j = (x — i)"(jr -f- 1/, que dans le cas où l'un des exposants a ou 6 est nul, ou bien s'ils sont égaux entre eux ; toutefois, en supposant que a et h soient des nombres pairs quelconques, on a, pour celui de ces coefficients qu'il importe particulièrement de considérer, l'expression simple qwe voici

A.. i.3.5..,(fl-i)i.3.5...(/»-i')

De la périodicité dans les fonctions circulaires.

I. Celte propriété importante manifeste d'une manière toute particulière la différence de nature des fonctions qui la possèdent, avec les fonctions rationnelles et algébriques dont nous nous sommes occupé précédemment, et leur imprime leur caractère le plus apparent, en quelque sorte, de fonctions transcendantes. C'est d'ailleurs par la périodicité que les sinus 61 cosinus interviennent dans presque toutes les questions de l'Analyse, depuis les études qui ont pour objet les propriétés abstraites des nombres entiers, jusqu'aux applications du calcul à la Pbysique el à l'Astronomie. Tel est, en effet, le caractère d'universalité de ces fonctions que, dans l'Ouvrage intitulé : Disquisitiones aritlimeticœ, Gauss s'exprime dans les

termes suivants : « Cui mirahiii quantitatum geneii, ad

quod in disquisilionihus maxime /leterogeneis scepissimè de-

ferimur, cujusque subsidio nulla Mallieseos pars carere po~ test w Mais si la définition géométrique des fonctions circulaires met immédiatement en évidence tout ce qui concerne leur périodicité, celte propriété semble beaucoup plus cachée dans les développements en série tels que

Aussi n'est-il pas inulile d'indiquer d'autres expressions analytiques où elle se reconnaîtra tout aussi facilement que par la considération du cercle. Tel est, par exemple, ce développement en produit infini

i,\r\.T:x = rcx I Il \|

Qu'on prenne, en effet, le polynôme

ou encore, en désignant par A un facteur numérique,

et on verra bien aisément que

d'où, pour n infini,

F(.r+i) = -F(.r), et, par conséquent,

Tel est encore le développement qu'on trouve en prenant la dérivée logarithmique de sinr^r, savoir

7TC0trr.r = - + — h -H — (-... ,

fCiii-, en l'écrivanl ainsi

TTCOlr.r — — h

le second membre devient, si l'on change x en x -h\, I I I I III

et, par conséquent, la suite infinie des fractions simples se reproduit, car elles n'ont fait que changer de place en s'avançanl chacune d'un rang (*).

Ce résultat suggère, par une généralisation facile, le mode suivant de représentation d'une fonction <I>(^) ayant pour période une quantité quelconque, à savoir

ou bien

cl) (.r) — «p [x] -f- <p(x — «) -(- ^ (,r — 2/7) -(- (p (.r — 3(i) -h . . . -(-'y (.r -+- «) -4- fp (x H- -ifi) -+- f (X'"i- "in) -f-. , .,

nn],

la condition de convergence de la série étant seule à remplir à l'égard de o{j:). El, si l'on alterne les signes en supposant

(*) M. 1choI)ichcw a donné un exemple Irès-rcmarquable d'un autre mode d'expression des fonctions périodiques dans la l'ormule suivante. Soit (j) la plus petite quantité qu'il faut ajouter à x ou retrancher de x pour avoir un nombre entier, on aura

le (oeflicient s;,, étant nul quand n est pair ou divisible par un carré, et ayant pour valeur -H I ou — 1 suivant que le nombre des diviseurs premiers de n seia pair ou impair {Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XVI, p. 3'(2). La fonction numérique désignée par (.r), qui, par sa définition même, admet l'unité pour période, joue un rôle important dans l'Arithmétique «upérieurc.

on irouvera tout aussi aisément la relation

De là résulte un nombre infini de fonctions périodiques, mais qui se ramènent aux sinus et cosinus. On démontre effectivement qu'on peut faire

$ Le = A,. -+- A, cos H A, cos 1- . . . -^ A„ cos f- . . .

' ' rt ^ a a

. 27T,r . Alix , . a//7r.r -4- B, sm H B., sm ~ h . . . -h- B„ sin h . . . ,

-et

¥ j7 = A, COS h A, cos H.. .-I- Acos -^ — ■ — — 1-. ..

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