IV. Soit en second lieu l'expression
smni.r
les nombres m et n étant entiers. Si l'on suppose m >> n, on
voit qu'il existera une partie entière ll{x), dont voici le calcul. Parlant de celte identité
je prends pour k le plus grand entier contenu dans — ? de
sorte qu on ail k = 1- e, e étant positif et moindre que
l'unité.' Il en résulte que
( 2 /• -t- I ) « — w = lin et m — ( 2 X- — 1 ) « = 2 ( I — s ) « ;
ainsi, dans la fraction du second membre, le numérateur est de degré-inférieur au dénominateur. L'identité employée se vérifie d'ailleurs sur-le-champ, car, en remplaçant z par l'exponentielle e'v^-', elle se transforme dans l'équation bien connue
sm/ix-
r , , X T sin ( 2 /•/? — m)x ■+- icos\m — (2A- — i)n\x H :
Nous obtenons ainsi
et
^, , sin(2/vî — m)x
^ ' sin/ix
OU simplement
^, . smmx ^ ' sm/ix
en supposant maintenant m inférieur à n, en valeur absolue. Ceci établi, les racines de l'équation 2'" — i = o sont don-
nées par la formule z = e"'*' , A* prenant les valeurs o, i,
k TZ
2, .... 2 n — I , et si l'on fait a = — ? le résidu de la fonction
sinm^ . , sinma (— i)*sinma
—. correspondant a x = x sera = ;
sinnx *^ ncoanx n
33o CALCUL INTÉGRAL.
et nous obtenons, par conséquent,
sininx » XT' , ^^ . ^ i , ,
—. = — > ( — ir s\ni/ia.coi-[x — OL).
smnx 1.11 .^ ^ ' a '
Mais, ayant
4)(jr-r-7r) = (-x)'»+"<l)(.r),
la fonction appartiendra à l'espèce %{x) ou H(:r), suivant que m-\-n sera pair ou impair, de sorte qu'il vient, pour le premier cas,
sin m X sin«.r 2
et, pour le second,
sin wx
— 2, (~0* sinwa cot(x — a),
sin
mx I -^ (— 1 )" sin/ nx in Ài^ Unix —
Or, dans les deux cas, les termes des sommes qui correspondent aux valeurs h el k -{- n sont égaux; on peut donc, en doublant, se borner à prendre /r= i, 2,. . ., n — i, le résidu relatif à /r = o étant nul.
Soit encore l'expression
COt(x — a) COt(jr — p)... col(.r — 1) ;
en désignant par n le nombre des quantités a, {3, . . ., x, X et faisant a=e''v/^, 6 — e^v'-',. . ., /=e'-\^, on aura, pour transformée en z,
lz^-a')[z^—ù')... [z'-~ T)
On voit que le numérateur et le dénominateur sont de même degré; ainsi il n'existe pas de partie entière et nous avons seulement à calculer ^{x). Or les in racines du dénominateur sont, d'une part, eV-', e?/-',..., eV-', et, en outre, ces mêmes quantités changées de signe, c'est-à-dire ^("'■^'■■V-', g,p+,.)v/3T^ g(x+„)^. d'ailleurs, ayant 0(:r H- tt) = $(^) , la fonction proposée appartient au type Q{x) et ses éléments simples, où figurent les arguments a et a-i- r, (3 et [3 -i- ?:,...,
se réduiront à ceux-ci :
COt(x— a), COt(x — ^),. . ., COt{x — )v).
Nous aurons, en conséquence,
^{x) =C-¥- «AoCOt(j^ — a) -H l)\)COt{x— §)-+- ...+-Ç COt(j: — ).),
A., Dî),. . .,^ étant les résidus de <l>{x) pour x = a, x = ^,..., x = 'k, c'est-à-dire
al> - COt(a — ^) COt(a — 7). . , COt(a — 1), lJÎ>=-COt(P- a)cot(P — 7)... COt(P — X),
^ =COt(> — a)C0t(> — P)... COt{>— îc).
Enfin la constante C s'obtient par l'équation établie p. 328, C = ■ (G H- H), au moyen des valeurs
G = {-,r=l)\ H = (v/=:Tr, que prend la transformée en z, pour z nul et infini, ce qui donne simplement C = cos — • On traitera de la même manière l'expression plus générale
F(sinj:, cosar)
sin(x — a) sin(ar — fi). . . sin(x — X)'
où le numérateur est un polynôme entier en sin x et cosa:, et, si nous supposons qu'il soit homogène et de degré n — i, on sera amené à la relation suivante :
Ffsinx, cosa:)
sin(j: — a) sin(j: — p). . . sin(j: — >) F (sin a, cosa)
8in(a — p) sin(a — 7). . . sin(a — À) sin(x— a)
F(sinp, cosP) 1
sin(^ — a) sin(^ — 7). . . sinl^ — l) sin(a:— p)
F(sin>, cos>) I
sin(À — a)sin(). — p) . . • sin(X — x) sin(x— X)
Nous en déduirons, en chassant le dénominateur,
„, . , sin(.r — S) sin(.r — 7). . . sin(.r — )i) . .
F sinx, cosx = ^-^ )■' . ^i r-) ^ F sina, cosa
^ ' ' sin(a — p) sin(a — y). . . sin(a — À)
sin ( ^ — a ) sin ( a; — 7 ) . . . sin ( ^ — >) sin(fe — a) sin(p — 7). . . sin(^ — /)
F(sinp, cos^)
■+- -^. r-^ ^1 Hi [ F sin>, cos> ,
sin ( )> — a ) sin ( A — p ) . . . sin ( A — -/ )
résultat qui se rapporte à la théorie de l'interpolation comme donnant l'expression de la fonction F(sin^, cos^), où entrent /i coefficients arbitraires, au moyen des n valeurs qu'elle prend pour a: = cic, x = ^,. . ., :v = 1.
V. C'est pour obtenir l'intégrale de la fonction transcendante/(sin^, cos.r) qu'a été établie la formule de décomposition en éléments simples, dont je ne multiplierai pas davantage les applications ; sous ce point de vue, voici maintenant les conséquences à tirer de la formule générale
f{sïnx, cos.r) = n(^) -f- <ï>(x).
En premier lieu, et à l'égard de
U{x) = 2^/j(cosX-.r -t- V — 1 sinX.r),
nous observerons qu'on a
— /.sin/ix,
dsln/ix , , dco&fi.r A- COSA x,
dx
dx
d'où, par conséquent,
COskxdx =
sin />x
j sïnkxdx =
cos/.r
Ainsi l'intégration reproduit une expression de même forme que la fonction proposée, sauf un terme proportionnel à la variable provenant de la partie constante qu'elle peut contenir.
Soit, par exemple, n(x) = cos"^, l'egalite 2Cos^=
donnera, en l'élevant à la puissance n, et rapprochant les
lermes équidistanls des extrêmes,
2" cos"x = z- -H - -f- - ( z«-»H- -__ ) H z"-* -t- ::^ ) -4- —
Distinguons maintenant les deux cas de n pair et impair; nous aurons, dans le premier, avec un terme constant,
a"'' cos j^ — cos«.r H — cos(« — i)x h cos(« — i)x -4- . . .
et, par conséquent.
sin//.r wsin(//— 2Vr /?(« — i)sin(« — 4)-^ CQS" JTrtlr = i 1
dans le second, il viendra
2 ' cos X = cosnx H COS(« — 2 IX H cos(« — 4 l-^ +
cosx,
d'où cette formule où la variable ne sort plus du signe sinus
co^xdx
sinw.r n sm {n — i)x
H ^^ sinx.
On traitera de même l'expression plus générale sin" j: cos*
mais l'inlégrale / sin^cos^jcc?^ s'obtient encore par un autre procédé fondé sur l'identité suivante :
c?sin''~'.rcos*+'j:
dx
— (a — i) sin^'^J? cos*+'.r — [b -\- i) sin^jr C0S*j:,
= («— i)sin''~^arcos*a:(i — sin^^) — (^-f-i)sin'';rcos*x,
— (« — i)sin''~^^cos'j: — (rt -I- è)sin''xcos*x.
Nous en tirons, en effet,
[a-i-b) I sm''xcos'' xdx = (« — i) / sin°'-J7C0S*.rfiir — sin''"'^cos*'^'a:,
ce qui permettra de ramener, de proche en proche, la quantité / sin°^cos*^c?^ à celle-ci : I sin''-'"cos*^6?^, où n est un
entier quelconque. Si l'on suppose a impair, le calcul est terminé, car, en faisant a = a/n- i, on obtient immédiatement
/ smx cos xax = ;
Dans le cas de a pair, nous prendrons in = a, et l'on opérera
ensuite sur l'intégrale / cos*^c?^, au moyen de la relation
b f cos''xdx = [b — i) I cos*~'xr/j7 -f- sin.r cos*~' jr,
qui ramène, soit à | cos^c?a: = sin^, soit à / dx = x.
En considérant en second lieu l'expression / ^{x)dx, j'écrirai pour abréger, comme à propos des fonctions rationnelles, p. 261,
„ , . , , X ^ COt \{x — a ) <^{x)=^ C-H2jloC0ti(j:— a)H-2X, -^z ^ + ---
d^COt^{x — oi)
■ dP" '
maintenant on voit comment la composition de cette formule conduit immédiatement au résultat. Nous n'avons, en effet.
qu'à déterminer la seule intégrale | coi^{x — (x]dx] or on a
x—a coSîfx — a) rflogsin^(.r — a)
cot = -r-~ ■ = a — T '
■À siny (X — a) fie
et, par conséquent,
J^ .V — a cot - - — f/x = 2 log sin i ( j: — a ) ,
de sorte que
/ <\<[x)(ix =z Ç.X -\- 2 2Xlogsin-j(x— a)-+- 2^V, (Mi{[x -^ a) -h. . . r/"-'coti(x — a)
Les relations
^/ X -. ./ V ^, rfcot(x — a) ^. , «■/" cot {.r — a)
e(x) = ïXC0t(x — a)+ 2aV,, ^^ -^...^IX^ y—, ' 1
„, , ^, , , \ ^ , «■/coséc (x — a) ^, r/"COSéc(x~a)
H(j:) — 2«.l>C0Séc(.r— a)-t-2a,l,, -^ -+-...-+- 2 a,l,^ ^-j -
donneront pareillement
/ &{x)(lx = 2Xlogsin(j:— a)-^ 2X, cot(jr — a)-+-. . .
+ i^„ dJ^^ '
/ H(x)ric = ïXlogtang^ix — x)-i- IX, coséc(x — x) — . . . , //"-'cosécfx —a)
En effet, nous avons déjà
/ cot(x — a)dx — logsin(x — *)> et, quant à l'intégrale
^ ' J sm(x -a)
elle s'obtient, soit par l'équation
sin(^ — a) soit en posant
car il vient ainsi
= {[tang^(.r — a) + COti( j: — a)], tang{(x- x) = t,
i -!- /' , 9 rit
dx =
sin(^ — a) it 1 -1- f '
d'où
r dx r f^f y , . , ,
Voici quelques remarques sur ces résultats.
VI. Les expressions qui, en dehors des termes logarithmiques, à savoir
X, cot (x - a) + A-.^ '-^ h . . . + .a=,„ -^-^^ ,
et
- , , X , d co%éc{x — y.) . *'/""' COSéc(.r — a) Jlo, cosec(^ — a) -h JUj -^ ^ -t- . . . -t- (vl.„ T-;jri '
composent, avec diverses valeurs des constantes X et a, les
intégrales / Q{x)dx, j ll{x)dx, ont respectivement la même
périodicité que Q{x) et ll{x). La première, comme on l'a vu au § I, équivaut à un polynôme entier du degré n en cot(^ — a), la seconde donne lieu à la transformation suivante. Soit pour un moment
COSéc(.r — a)=« et C0t(,r — x)=t,
nous remarquerons qu'on peut écrire
K = — Sin Kr — a ) -;- 5
