IX
de sorte qu'il vient successivement
du . , , d^t , , dt
, — — Si nue — y.) -J—., — cosur — a) -p , dx dx^ ^ ' dx
(Pu . , , r d^t dtl , ,
dx"'
et, en général,
-COS(x-a)[^--^ ^-^^^3 ^i^.-^- ■[
Il en résulte qu'on peut donner à l'expression
du d'-'u
d'abord la forme
sinix— a G -7— -I- G. -; — --h. . . ] ^ \ d.i" ' dj.-"~' /
les coefficients G et H étant constants; ensuite celle-ci
sin(x — a)F(/)-+-cos(a; — a)F, (/),
en désignant par F(/) et F,(;) des polynômes en t des degrés ' n + i et n; enfin au moyen des valeurs
Sin(X — a)= -— :=> C0S(X a)=-— r=r-)
on écrira
. (lu . d''-'u .f{f)
ce nouveau polynôme ^{t) étant du degré n-hi. Sous ces formes nouvelles, les quantités qui entrent dans les deux intégrales sont parfois d'une détermination plus facile, et j'en donnerai quelques exemples.
Soit d'abord l'intégrale
col"*' xd.r,
l'exposant n étant entier et positif; d'après la méthode générale, on posera
o t L » r/cot.r , d''C0lx
cot"^'a: = C -<- A>COtx -+- X^ — ^ h. . .-^ <X„ ,
l" Partie. 22
et les coefficienls s'obtiendront, soit au moyen des relations
c/cOt.r
COt'x
COt'x
dx
COtx
1 (Pcoix
2 dx'^
4 d coix I d^coix
cor a: ;= ^ -+• — -. — j-Y--)
3 dx b dx
soit en formant la puissance n -\- i ainsi que les dérivées de la série
\ X x^ COt j: = ô — 77 — • • • '
et substituant dans l'équation pour identifier.
Or la variable col^ = ^, qui est indiquée par la forme connue d'avance de l'intégrale, en donne facilement la valeur, car ayant
I COl"'^^ X dx — — I r,J
il suffira d'extraire la partie entière de la fraction ^ ^ ^,; si n est impair, on formera ainsi l'égalité ^1
d'où
arctangr,
et, par conséquent,
CoV^'^^xdx =
COt",r cot""^x cot""^r n n — 2 n — 4
— (— il^^cotx-t-f— 1) ^ X.
Dans le cas de n pair, il viendra semblablement
on en conclura alors
, cnf.r cot"~'x COt"~*a:
- COt'.r ^
-r( — 1)' h(— i)-'Iogsinx.
Rapprochant ces résultats de l'expression donnée par la méihode générale, à savoir
COt""^' .r dx = Ç.x -i- X log sinx -H X, COtx -r- . . .-r- X„ ; r^ ,
dx""
nous en lirons cette conséquence que l'on a x=.[—\Y ou X = o, suivant que n est pair ou impair; et je m'y arrêterai un moment pour montrer en peu de mots comment cette seule connaissance du résidu X relatif à la valeur :r = o de la fonction cot"-^'a: suffit pour la détermination complète de la série
COtX = r ^ -t- C.r -r- dx^ -h . . . .
Et d'abord, de ce que le terme en - manque dans le carré, la
quatrième puissance et toutes les puissances paires, on conclut de proche en proche les conditions 6 = 0, dz=o,..., c'est-à-dire que le développement ne contient que des puissances impaires de la variable, et a la forme
colx — - -t-Ç)x -h -JX-* -1- . . . .
De ce que le coefficient du même terme est -m, — i, -i-i,..., dans la première, la troisième, la cinquième puissance, etc., on tire aisément les égalités
a = i, 3a'p=-i, Sa^Y-f-ioa^fe-^^ I,... .
d'où
Le développement de cot^, auquel nous parvenons ainsi, est d'une grande importance en Analyse; en récrivant de cette
34o CALCUL INTÉGRAL.
manière
I 2-B, r '2'B, r^ a^BjX'
les coefficients
sont appelés les nombres de Beriioulli (*), et l'on a de même
2^(2'-0B,.r 2M2'-i)B,.r^ a^fa"— i) B,.r^
tangx =: — ^- + -^ ' / + ^ „ /■' -^. . . ,
I (2'-2)B,.r (2*-2)B,Jc^ (2''-2)B,,.r* X 1.1 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6
Soit encore l'expression-^ — -, qui, en supposant
a + (3 un nombre pair, aura, comme la précédente, la périodicité de B(.r). Au lieu de déduire l'intégrale
de la relation
I r. , . « r/cot.r . rf'COt.r
= C -+- (Jlo cot a: -f- Jlo, — -, h ... -H cA..„
sin^'^'x cosP^'.t * dx '" ' " dx'^
. ^ ,, didsisx „ r/hane.r -+- iJÎ) tang.r -^ l)J), — ,— — I- . . . -H ijîia ~- ,
nous ferons toujours cota: = t, et l'on voil que la transformée
' dt
s'obtiendra facilement en développant la puissance (i -^ P) ^ , dont l'exposant est entier dans l'hypothèse admise. Si nous faisons en particulier (3= — i, a=:2n-f-i, nous trouvons, en désignant par Wi, n.,. . les coefficients de la puissance n
(*) Bertrand, Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, t. I, p. 8/(7. - Serret, Cours de Calcul différentiel et intégral, t. II, p. 217.
TREMIERS PRINCIPES. 34 I
du binôme,
/ ■ l'L = — cota: — ^ COt^r — ^' COt' j: — . . . ' C0t^+' r ;
puis, en changeant .r en - — j:,
— z — 7- = IdiXï^x -f- — tang'x -t- -r tang'.r -t- . . . h tang"'+' .r.
Vil. L'intégrale \ f{s\nx,cosx)dx se ramenant par la subslilution sina: = X à celte forme
qui a été l'objet d'une étude antérieure, nous devrions maintenant comparer les deux procédés d'intégration, et les résultats auxquels ils conduisent. A cet égard, je me bornerai à remarquer qu'en faisant sinx = X dans la formule générale
/ <l>(x)r/x — CxH- 22Jl>logsin-}(.r — a)
-^ lX,co{{[x ~ a.)-^ . . .-^ 1X„ -^, ,
la partie transcendante est donnée par les termes C^ et
/ COt-j ( .r — a) f/jr — a log sin^ ( a: — a ) , dont le dernier prendra la forme suivante. Soient
Y=\/'— X^> « — sina, b COSa,
on aura
/' , , , , C Pin .r-a , r «Y
/ coti .r — a)^/a= / ■ ' dx =^ /
J J l — COS(x — a) J \ — a
Y - /^5^ fl^ \-b\ Y
de sorie qu'au lieu de la fonction de troisième espèce amenée par la méthode d'intégration des radicaux carrés, à savoir
/bH.r {\ — ax — by\
nous sommes conduits à la quantité
ay — hx dx - nx — by y
ax — br).
Mais j'arrive, sans insister sur ce point (*), à une dernière considération, à la détermination de l'intégrale définie
/(sin^, cosx)dx. Reprenant, à cet effet, l'expression
f{sinx, cosx)= n{x)-+- *(x),
j'observe d'abord que la fonction <^{x) devra être finie pour toutes les valeurs de la variable comprise de zéro à 27:, c'està-dire quel que soit x, puisqu'on a ^{x -h an) = (^{x); ainsi, dans les éléments simples cot| (x — a), aucune des constantes a ne sera réelle. Ceci posé, les termes périodiques de l'intégrale indéfinie des fonctions II (^) et ^{x), reprenant la même valeur aux limites ^ = o et ^ = 27:, ne figureront point dans le résultat, et nous aurons seulement à considérer le terme C^, ainsi que la partie logarithmique 2 X logsin7(^ — a). Du premier résulte immédiatement la quantité €27:; mais les termes transcendants demandent une attention particulière. Comme dans le cas plus simple de l'expression
traitée (p, 280), la relation
ne détermine pas sur-le-champ, à cause des valeurs multiples
;sm
(") On a, d'une manière plus générale,
' ( cf>' — l>c' )x -i-{ ac' — ca! ^y -+- ab' — hn' dx {ax-t- Oy -t- c)[a' X -i- b'j -t-c') j
log
et l'on doit remarquer les cas particuliers dans lesquels cette intégrale ne devient indéfinie que pour deux valeurs de la variable. Ils se présentent lorsque les droites ax-\-bj -\-cz=ç\, a'x -i- b'x-i-c' — o se coupent sur le cercle x^-hj'^^ i, ou lui sont tangentes.
Fig. 29,
des logarithmes, l'iiilégrale définie prise entre des limites données x^, Xi, et j'indiquerai d'abord de quelle manière on y parvient avant de supposer ar, = o et ^i = 27:. Soient
a = « -(- 4y^— I, sin|(x — a) = X H- Yv^— I.
Envisageant X et Y comme les coordonnées OP etMP {Jig. 2g)
d'un point M rapporté à deux axes rectangulaires Ox et Oj, je figure la courbe MM' qui sera le lieu de ces points lorsque la variable x croîtra de Xo à Xt. De cette manière, le rayon vecteur OM = R et l'angle MO^ = 6 seront, à partir du point M, correspondant h X = Xo, des fonctions continues entièrement déterminées de la variable x. Remplaçant donc coti(^ — a) par la dérivée logarithmique de
sin j(j: — a) = X-*- Yv'^= R(cos0 -i- v^— isin^),
il vient
maintenant on a, sans aucune ambiguïté,
/ -^ = logOM'- logOM, / r/9 =WOx - MOx,
et l'intégrale proposée se trouve déterminée. Mais arrivons aux limites zéro et 21:; si nous faisons pour un moment
A = COSèy — I =r
nous aurons
B = 8in&v^- I f^—i
hb
X = A8in^(x — a), Y= — Bcos^(x — «),
d'où
de sorte que la courbe MM' est une ellipse. Remarquant que A est toujours positif, je distingue deux cas, suivant que B sera posilif ou négatif, c'est-à-dire suivant que b sera luimême positif ou négatif. Dans le premier, je pose
d'où
X^^AcoS'f, Y'-Bsiny;
cela étant, lorsque x croîtra de zéro à 27:, cette ellipse sera
décrite dans le sens direct depuis un point M{Jig. 3o) jus-
Fig. 3o. qu'au point M' situé sur le pro-
y\ longement du diamètre OM. En
second lieu, lorsque B est né-
\\ gatif, je fais
ce qui donne
X = Acosa', Y — — Bsinç;
c'est alors du point M au point M' la seconde moitié de la courbe qui sera décrite dans le sens inverse. Cela étant, dans le premier cas, l'angle 9 croît avec x, et nous avons
M'0jrr^M0.r-+-7r;
dans le second, au contraire, il décroît, et nous passons de la valeur MO^àM'0^ = MOa; — tt; les deux rayons vecteurs OM et OM' sont d'ailleurs égaux, ce qui fait disparaître la partie logarithmique; par conséquent, en désignant par (b) une quantité égale à l'unité en valeur absolue et du signe de b, nous aurons
cot|(j: — a — h\J -' v) dx r::^ ir^[b)\' Voici quelques applications de celte formule :
TREMIERS PRINCIPES. 34^
Posons
dans la relation
2sin>. L^ — "^ X -^-l = cot cot
cos). — cos j: 2
établie p. 827, et soit a = e"; elle prendra celte forme
2(1 — a^) , / X — ai/ — I .r-Hai/— 1\
^ i = 1/ — M cot ~ cot 1 >
I — 2flC0SJr-t-« \ 2 2 /
et nous en conclurons successivement pour a<Co et a>> o, r'est-à-dire en supposant « <1 1 et « 1> i ,
i-rt'Mr/,r r^'T (l — «Mr/x
7o 1 — 2acos^ -r- <■/' ' i/o ' — *"
cos 2 H- rt'
Le second cas se déduit d'ailleurs immédiatement du premier
par le changement de a en -•
Soit encore l'expression plus générale
C0SWJ7
cosX — COSX m étant un nombre entier quelconque; en faisant
elle devient
2»'-' ( I — 2 Z cos/ -+- z' )
et contient par conséquent une partie entière qui s'obtient ainsi. Je pars de ces deux identités, faciles à vérifier,
— c^ — j --= sin>. -f- z sin2). -1- z' sin3 a -f- . . . -h z"'~*sin{/« — 2) a
