I - 2ZC0SX -t- z' z" z^ z* '"' z
1 zsin(/7i -f- 1)). — sin/«> gw+i j — 2 3 cosX -+- z'
et je les ajoute membre à membre après avoir divisé la première par z"-', el multiplié la seconde par 2'"-*-' ; il vient
-.■^. 7^ — 7 ^- i^""' -^ 2'"'" ) sin >. -+- ( z"'-^ -^ z^-"' ) sin 2 X -i- . . .
-H (z -H Z-') sin(/?? — i)> -+- sin/wX z[sin(/« -i-i)). — s\n{ni — i)^],
I — '2ZC0SA -r- Z^ '
et, par conséquent, si l'on remplace z par l'exponentielle e^v/-', nous aurons
coSTO.rsin^ , , cosw). sin).
coso: — cosX ^ ' cosx — cosX en faisant
n ( J7) =; 2 sin)^ cos ( »? — i ) .r -i- a sin a / cos ( w — a ) x -i- . . .
-I- 2sin(w — i))iCOSjr H- sin/»)..
Le terme constant de la partie entière est sin/n^; on en conclura, en faisant comme plus haut, A = a y — i , e" = a, ce qui donne
%\\\.m\ = ■ r=5 cosml = 5
Jr 2 7r ^, — ^2^ cosmxclx T = aTTfl'" pour rt < 1 ,
et
^'^ (i — a^)co9,mxdx it:
I — 2« cos.r-1- a' a"
pour « > 1 .
Je considère en dernier lieu la quantité
sin-^
|COS>i — COSX) (COSf/ — cos,r)'
la décomposition en éléments simples conduit d'abord à la relation
— I -J- C.I) COt COt — — I
Va 2 7
DJi cet — COt
(cosX — COS a:) (cos p. — cosx)
en posant
COSp — COSA COS/ — COSp.
l'REMIERS PRINCIPES. 34;
Faisani encore
nous trouverons, en nous bornant, pour abréger, au seul cas 'Cle a<o, (3'<o,
J'^ ^" ^absïri'.rf/x o (t — 2«cosj: H-- «^)(i — aicosJTH- 6-)
— — -2 71 — (X -t- i)li ) 47r v'^ ;
or on a facilement
eHo -I- l)î) = - cot !- = - V' — I r '
2 2 2 \ — ao
d'où celte formule
sin^xdx ïT
Jf in o (i — a«
cosx -\- a')(i — ^bcosx -^ b*) i ~ ab
qui donne un résultat important en développant les deux membres suivant les puissances de a et b. Si nous employons, à cet effet, les relations
sinx
I — -Kl cosx sin.r
, --==:> b" sin in -+- i).r,
l — %b COSX -t- b* Âiaà ^
où m et n reçoivent toutes les valeurs entières de zéro à l'infini, on parvient à l'égalité suivante :
\^«7"//' / sin(w -H i).rsin(/? -\-\]xdx — w ( i -t- o/; -^ a^lP-^ . . .),
dont le second membre ne renferme que les puissances du produit ab. Nous avons donc
ivamxsvûinxdx = o
lorsque m et n sont différents, tandis qu'il vient, si on les suppose ég^ux.
On trouve d'ailleurs directement ces relations au moyen des identités
i.s'mma:smnx ~ cos(w — ii)x — cos(/« -h n)x^ i%\\>?mx -- I — cosi/nx,
qui donnent les intégrales indéfinies
sin ( m — n ] :r sin ( /// -+- u ] r
si n /« X sin « x clx ~
. , , .r sin^w.r
sm'mxrix = -
et, par suite, comme on voit,
smnixsm/ixdx — o , I sm^mxdx — Tz.
En partant de celles-ci
2 sinwo:^' cosnx - - sin ( //i -r- n)x -r- sin ( m — /i)x, icosmxcosnx = cos(w -r- «) j; -i- cos(/« — //).r,
nous aurons semblablemeni
sin/«a7cos«^f/j:^ — o,
même dans le cas de m = n, puis
' COSn^xcos/^xdx -- O, l cos'^mxdx -- n. o Jo
Ces intégrales définies, qu'on obtient si facilement» conduisent, comme nous allons voir, à d'importantes conséquences.
VIII. Les séries qui procèdent suivant les puissances entières et positives d'une ou de plusieurs variables ont pour caractère essentiel d'être continues lorsqu'elles sont convergentes, et c'est en admettant cette condition de continuité qu'elles ont été employées dans les applications géométriques, et en particulier dans les théories du contact et de la courbure des lignes et des surfaces. Mais l'Analyse conduit à des séries d'une autre nature, qui, tout en restant convergentes
afin d'avoir une limile déterminée, ne sont plus nécessairement continues, et peuvent, lorsque la variable croît par degrés insensibles, représenter diverses successions de valeurs appartenant à des fonctions de formes tout à fait différentes. Un premier exemple en a déjà été donné, p. 2.84, et nous avons vu qu'en faisant
y, , . sin3x sin5.r J[x)— smx H \ : h. . .
on a
lorsque la variable est comprise entre an:: et (an +1)7:, tandis qu'on obtient
quand on la suppose comprise entre (2/1 — i):: et -z/itt, n étant un nombre entier quelconque. Or ce résultat se rattache à une formule générale donnant un nouveau mode d'expression des fonctions d'une grande importance en Analyse, et que je vais indiquer succinctement.
Soit ^(x) une fonction donnée entre les limites x = a, jP3=6, avec la seule condition d'être toujours finie; la suivante,
le sera de même depuis ^ = o jusqu'à x = ar, et l'on prouve qu'elle peut se représenter de la manière suivante :
/(x) =: A,-+- A,COSX-H A,C0S2J; H- . . .-(- A^coswj: -i~. . . -+- B, sinx -h B, sinaj? -<-...-+- B,„ sinmx -+-...;
voici maintenant, la possibilité du développement admise (*) comment se déterminent les coefficients. Le premier s'obtient en multipliant les deux membres par dx, et intégrant entre
(*) Je renverrai pour la démonstration rigoureuse au Mémoire célèbre de Dirichict, sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter «une fonction arbitraire entre des limites données {Journal de Crelle, tome 4> P- 137 )•
35o CALCUL INTÉGRAL.
les limites zéro et 271; ayant, en effet,
cosmxdx — o, j sinmxclx — o,
0 Jo
il vient ainsi
\dx.
Jf* 27r
J'opère ensuite d'une manière analogue en multipliant successivement par les facteurs cosmxdx, sinnixdx; les relations précédemment établies p. 348, à savoir
co%mxco%Tixdx = o, I cosmxsinnxdx — o, 0 </o
montrent que l'intégration entre les limites zéro et 27: éliminera tous les coefficients de la série, sauf A^ et B™, qui seront respectivement multipliés par les quantités
cos^mxdx — t:, j sin^/nxdx — tt,
et nous trouverons, par conséquent,
f[x)cosmxdx^ 7rB,„ = 1 f[x)s\.nmxdx. Q J o
C'est cette expression de A^ et B^, au moyen d'intégrales définies, qui donne le moyen de s'affranchir de la condition de continuité que suppose absolument le mode de détermination des coefficients de la série de Maclaurin
où figurent toutes les dérivées de f{x) pour ^ = ^o« D'après la nature même de l'opération d'intégration, rien n'empêche, en effet, d'admettre qu'entre les limites zéro et 271, et dans un nombre quelconque d'intervalles de zéro à o;,, x^ à Xi,..., ar„, 8 271, f{x) coïncide successivement avec n fonctions dis-
tincies /,(^),/j(:c ),..., /.(^c), les expressions des coefficients devenant alors (p. 228)
27rA, -^ / f^(x)da:-h f.^{x)cij:-^...-h f,X^)dx,
f,{.i')cosmxdx-h I fXx)co&mxdx-h...-i- 1 f,Xx)cosmxdx, f^{x)oinmxdx-t■ j fj{.r)sinmxdx -¥■... -h j f,,{x)s\nmxdx.
ïï
ne circonstance qu'il importe aussi de ne pas omettre, c'est qu'à la limite de séparation de deux intervalles, pour x = Xt par exemple, la série ne présente point l'ambiguïté de la fonction et a pour valeur y [/,(^,),-i-/,(^,)]; mais je me bornerai a énoncer ces résultats et à en faire l'application au cas d'une
fonction f{x) successivement égale ^ -+- 7 entre a: = o,
X = 7T, et à — 4 entre x:=t:, x = iti. On trouve alors immé-
diatement Ao = o ; observant ensuite qu'on a
cosmxdx = 0, 1 cosmxdx = o,
0 Jt:
nous en concluons semblablement Am=o; enfin les expressions
C^ . , 1 — C0SW77 C^"^ . , COSWTT — f
I smmxdx = 5 / smmxdx—
Jo '" Jtz "'
donnent
„ I — COSWTT
et l'on retrouve bien la série
-, . sin3.r sin5.r A(x) = sinx H 1 ^ 1- . . . ,
comme nous l'avions obtenue par une autre voie.
De l'intégrale j e''-^f(x)djc.
