I. Je me fonderai sur celte remarque que l'expression

où u est une fonction quelconque de x, prend, si l'on pose e'^'u z= V, la forme suivante

, . fie . fP" , d"u

'cW

'daf'

En effet, nous avons successivement u = e-""v.

du dx

dx'

mU' — 2w

i> d^\ r dx' )

et la substitution conduit au résultat annoncé, les quantités A-; X^,. . . ayant ces valeurs

X = A — A, w -H A^w^ — AjW^ H- , X, = — A, -f- aAjW — SAjW^ -1- . .

doi

qu'on obtient directement comme il suit. La fonction u étant quelconque, faisons en particulier 11 = e'"', on en conclura V = e(<"+^)^, et la relation

.?"•" Am -t- A, -7- + A, --,, -H . . . -i- A„ — - ) \ ' dx 'dx' "dx")

di> (P V

^Tx'^'^'Tîx'

" dx"

donne ainsi, après avoir supprimé dans les deux membres le facteur exponentiel,

Changeons maintenanl A en A — w, nous en concluons

et l'on voit que le développement du premier membre suivant les puissances de h donne bien pour les coefficients X, JL,,. . . les valeurs précédemment obtenues.

Cela posé, nous tirerons de la décomposition en fractions simples de la fraction rationnelle f{x) la transformation suivante de l'expression e'^f{x). Soit, à cet effet, en désignant la partie entière parF(ar),

^ ^^x—a ^{x — ay ^[x — a)

ou plutôt, après avoir modifié convenablement les constantes

A|, Aj, . . . , An,

/(x) = F(.r) + 2A(x-a)-'-t-ZA, ^^ -4-...+ 2A,. ' ^^/ ;'

je ferai, d'après la remarque précédente,

.-rA(x-<-+A/<"7"^"'-^...-^A/^("-"^-1 L ^ dx " (Ix" J

Or, en ajoutant membre à membre les relations de même nature qui correspondent aux divers groupes de fractions simples, on trouvera cette expression :

e'^f(x) - e^-'F{x) -t- lX[&^{x - «)-'] + 2,1,, ^ [e<"'(x -«)-'] -t- . . .

fi"' OÙ les quantités -^ — se montrent comme ayant, à l'égard de la

fonction transcendante e"'f{x), le même rôle d'éléments simples que les fractions par rapport à la fonction ration-

X ^^ ce

1" Partie. 23

nelle/(^). Il en résulte que l'intégrale i e'''f{x)dx se trouve

exprimée d'une part au moyen de celle-ci 1 e'"'=F{x)dx, précédemment obtenue, p. 258, sous celte forme :

en second lieu, par les expressions également explicites

et enfin par la quantité

où figure au fond, comme nous allons voir, une seule et unique transcendante. Soit, à cet effet, pour un instant

çp(3

en faisant on aura

d'où

r e'^^"-"'^ dx ■- ■■ j X ~ a

r&'^dx

et par conséquent

/e'"'^ dx '- = 1Xe'"'vi\y>[x — a)\ X ■ Cl

/e^dz 5 si l'on fait e' = x, prend la forme

et reçoit la dénomination de logarithme intégral. On

a démontré l'impossibilité de la représenter par des combinaisons en nombre fini de fonctions algébriques, logarithmiques et exponentielles, d'où résulte qu'on doit l'en-

visager comme un élément analytique sui generis, dont la notion première s'est offerte, ainsi que celle des transcendantes elliptiques et abéliennes, par la voie du Calcul intégral. Elle a été l'objet de nombreux travaux, mais nous nous bornerons à mentionner à son égard une propriété singulière qui en montrera le rôle daps l'Arithmétique supérieure. Elle

j donne approximativement la valeur N du nombre des nombres premiers compris entre a et 6, l'approximation étant d'autant plus grande que b est plus grand par rapport à a, et étant ainsi caractérisée que la limite du rapport de l'intégrale au nombre N est l'unité pour b infini.

H. Il existe une infinité de cas dans lesquels l'intégrale

I e*^f{x)dx s'obtient sous forme finie explicite; il suffit

pour cela que les diverses constantes X s'évanouissent. ' J'ajoute que ces conditions sont nécessaires si l'on veut que

€!^f{x)dx s'exprime au moyen d'une fonction rationnelle

multipliée par e". Il est aisé en effet de reconnaître l'impossibilité d'une relation de la forme suivante :

^{x) étant en général une fonction algébrique, car en faisant X = a -\- h, et développant suivant les puissances croissantes de h, le premier membre contiendra la quantité xe^'logh, et aucun terme logarithmique ne pourra dans l'hypothèse admise provenir du second membre. On voit par là toute l'importance des constantes JU; aussi nous allons en donner une détermination nouvelle, en déduisant à la fois et directement de la formule

<7""/(x) - 6'"^F(j:) ^ lJc[t''''(x - a)-'] -+- i:a.,, f [e"'{x — a)-'] -f- . . .

le groupe des coefficients «l., ,.1.,,..., ^i^n.

Soit à cet effet x=:a-\-li; développons, comme tout à l'heure, suivant les puissances croissantes de h, et, en n'écrivant que les puissances négatives, posons

dh

^'~diî^

d'où, par conséquent.

Or, dans le second membre, les termes en t» t^v

peuvent provenir que de la quantité e""'( x ~ a)-^ et de ses dérivées, qui donnent, en effet, en négligeant les puissances positives.

ne

dx

dh

die

attendu que la dérivée de h par rapport à x est l'unité. L'expression suivante

e"« ( X/i-' H- JU,

dh-' d^h-'

-dh'^'^'~dië~

représente, par conséquent, la portion du développement du second membre qui renferme les puissances négatives de h, et l'on voit qu'on a

cJl> -= A, Jlfl, = A,, a-lsj = Aj, . . . .

Soit, par exemple,

et prenons

on multipliera le développement de l'exponentielle

^{a^b)h ^^^{^a-^b)h^{a-^bY

par la quantité

abh^ iibh

ce qui donne

'' ^ ' abh^ . %ab Or le terme en -t manquant, nous sommes assurés que l'intégrale est possible sous forme finie explicite; on a en effet

Aw»)x(, ±.\(, lV/:^ ^ e(-*)^ r ' ' ] ,

J \ (IX ) \ bxj \a -+- b abxj

et l'on trouvera semblablemenl

J \ ax a^xy \ bx b^x' J

a -^ b 'là'b' X Q.fi'b'' (lx\ x J

[a-hb abx à^b'x^ a'6'x^J

III. J'ajouterai succinctement, en vue des intégrales / co&(àxf[x)dx, I sinoixf(x)dx,

les conséquences auxquelles conduit la relation générale

e'-^f{x) = e"'F(x) ^ lX[e'"^x-a)-']-h...,

lorsqu'on y change m en wy'-"'» En supposant pour plus de simplicité que dorénavant co soit réel, ainsi que/(:r) et les quantités a, je remplacerai les coefficients X, Xi,... par X -f- X' v^— I, Xt + X\ \/— 1 , . . . . Cette équation donne alors les deux suivantes :

coswx/(.r) = coswxF(x) -i- 2Jt[c0SMx(x — a)''] — 2;X'[sinwj:{x — «)"'] ^Jcosu>x{x-a)-^]-lX\^\

XX, -J- [cosux(x— «)-'] — 2X', ;^[sinwjc(x — rt)-']

sinwa:/(x) = sinMj:F(j:) 4-2X[sinwx(j: — «)-'] -j- 2X'[co8wx(x — a)"'] -)-2X, ^ [sinwx(x — a)-'] -f-iX', — [coswx{x — a)-']

On voit donc que les intégrales

/ C0S(iixf{x)dx, j sinMxf{x)dx

s'expriment en général par les transcendantes

rdx

/COS()iX(fx /^smMxrL

qui elles-mêmes se réduisent à celles-ci :

/cos zr/z Csm

zdz

Nous voyons aussi qu'on obtiendra à la fois pour l'une et pour l'autre des valeurs sous forme finie explicite, lorsque les divers coefficients X et X' s'évanouiront. Or, X + JU' sj— i étant

le coefficient de ^dans le développement de

il en résulte qu'en supposant réelles, comme nous l'avons admis, les quantités w et a, ainsi que la fonction /(a?), X et X' seront aussi, à l'égard des fonctions

cosaihf{a-+- h), sin(ahf{a -{- h),

les coefficients des termes en t-

Soit, comme application, l'intégrale

/*/ sin(7j:\ / , sinè.r\ , I I cosax j ( cosbx y — j dx,

j'écrirai d'abord

f 8max\ [ . smbx\

1 1 co^ax I co&bx = 1

\ ax j \ bx J

= cos(fl H- b)x I y— J — sin(«-f- b)x-

cos

abx

a-b abx

PREMIERS PRINCIPES. SSq

et nous serons conduits à une combinaison linéaire des quatre quantités

/cos{« H- b)xdx /'sinfa -t- b)xdx /*cos (a — b) xdx rûn{a — b)xdx — ^^ — 'j — ï — 'j — ^^^ — v — - —

dont aucune ne peut s'obtenir, l'expression proposée s'exprimanl néanmoins sous forme finie explicite. Supposons en effet, dans les formules précédentes,

on aura

cos(

a-^b)x . ,8m{a-^b)x d foisia -h b)x'\ x^ ~ ^ X dx\ X J ,

puis, en changeant b en — b,

COS{a — b)x ,.sinla — b)x d rcos(ff —b)x'\

X* '^ ~ ^ ~ ' X dx\ X J *

Il en résulte, en intégrant,

J L — x^ — +(«+*) — - — yi^= — '

/*rcos(fl — b)x ,. sin(g — ^) j"| . (io%(a—b)x

et par conséquent ce résultat

r( sinfif:r\ / , sin^xN , a M coiax j I cosox -. — j dx

8in(a-4-A)j: cos(g -Jrb)x ~ a -i- b abx

s\n{a — b)x cos(« — b)x a — b abx

C'est le cas le plus simple d'une proposition générale concernant les réduites successives

.r 3.r i5x— jr*

36o CALCUL INTÉGRAL.

de la fraction continue de Lambert \

tang.r =

Soit en gênerai ^ la n'*'"' réduite, P et Q étant des polynômes

entiers en x, et posons

, , Pcosa: — Qsinj?

l'intégrale / Q^{ax)(!^{bx)dx pourra toujours être obtenue

sous forme finie explicite. La fonction <s^{x) donne aussi ce

résultat

dx Psin^ -f- Qcosx

^'^[x) Pcos^ — Qsinor'

c'est, sous une forme très-simple, la valeur d'une intégrale que nous n'avons point de méthode pour aborder, car elle n'appartient à aucune des catégories considérées jusqu'ici; on verra comment on y parvient facilement, dans la seconde partie du Cours.

Je remarquerai enfin que, en désignant parF(sin;i:,cosa;)un polynôme entier en s\nx et cos^, l'intégrale

F(sin.r, cosx)f[x)dx

rentre dans celles que nous venons de traiter, ce polynôme pouvant être transformé en une fonction linéaire des sinus et

/sin"^ " — ~ ^^»

par exemple, étant d'abord, abstraction faite d'un facteur constant, mise sous la forme

sera immédiatement ramenée, au moyen de l'intégration par

PREMIERS PRINCIPES. 36l

parties, à celle-ci :

dxT ~ ~x '

u* sin"*!?

Or — -: est une somme de cosinus ou une somme de sinus

de multiples de;c, suivant que m 4- « est pair ou impair; dans

,.. , . . . . j < Ccoszdz , le premier cas, liniegrale se réduit donc a I 5 et dans

le second à / dz.

De l'intégrale / e*"/(sin^, cosx)dx