Ijc '"'"« clx

qui, en conséquence, prendront celte nouvelle forme :

Or, en faisant la somme d'expressions semblables, pour les différents systèmes de valeurs constantes X et a, nous trouverons pour formule de décomposition

€'^f(smx, cos.r)

= e-'n (^) + % p- COt i [a: - a)! + ^, ^ Te"' COl ^ (^ - a)! + . . .

H- |5[e-coti(^-^)] -^ |P,^,[e-cot^(a;- ^)] -i-...

C'est, à l'égard de notre fonction, l'équivalent de la décomposition en fractions simples des fractions rationnelles; les quantités qui jouent le rôle d'éléments simples étant

e"*cot- (t — a), e"*cot-(x- P),..., e"'cot- (x-)>),

il en résulte qu'en faisant pour un instant

çp(^) = / e*""^ cot - xdx, l'intégrale

I €'•"'/ {sinx, cosx)dx

sera exprimée, d'une part, par la somme

;3le"Xa7 - a) + l^e"-?.)) (^ — P) -t- . . . + 1*^"^? (:r - >),

et, de Taulre, au moyen de fonctions explicites de la variable. Les conditions % = o, l3=:o, ..., § = o sont donc suffisantes pour que la partie non explicite disparaisse, et la valeur même de l'intégrale sera connue au moyen des divers coefficients ^,, %2, . • . , Î3i, IB2, Il importe donc d'en avoir une

détermination directe, et on l'obtient comme il suit.

II. En ayant en vue, pour fixer les idées, le groupe des quantités Jt, J3t,, . . • , J3l„, nous ferons x = a-\- h dans la fonction proposée, et développant suivant les puissances ascendantes de //, nous représenterons les termes affectés des puissances négatives de cette quantité sous cette forme

e"-(«+»)/[sin(a -f- //), cos(a -h /i)]

\ ' dh

■■^^'' dh"

Or la relation

c*^/(sinx, cosx)

= e'"n[x) -+- % \e'^ cot - {x-x)] -^ ^, 7- rf?'"C0t-(.r - a) 1 +..

montre que, pour x = oc-h h, la partie suivante du second membre, savoir

j3l[6'-COti(x-a)J + j3t.^[e-COli{x-a)]+...

sera seule à donner des puissances négatives de h. Maintenant on trouve

e""cot- (x-a) = e-* fy -1-20) — ^+...V 1 ' \n 6 /

puis, abstraction faite des puissances positives,

^[.-COti(x-a)] =

dh" la dérivée de h par rapport à x étant l'unité; nous en con-

durons que l'expression

le''

représente dans le développement du second membre tous les termes contenant des puissances négatives de h, de sorte que l'on aura

Pour faire une application de ce résultat, nous considérerons la fonction

e(a+*K {a-~^ COt^^ fé - i COt^") ,

qui devient infinie pour la seule valeur ar = o, de sorte qu'il suffira de la développer suivant les puissances ascendantes de la variable. Or on a

\n cot — ) =: ( I H- ax -\

~ ->ra-\ h. . .

et pareillement

d'où, en multipliant membre à membre,

^(0+*)' (a 1 cot-Vè - - cot-^ = -^ + . . . .

Le terme en - manque, amsi A = o; mettant ensuite — sous

la forme

d{x-') dx

j on en conclut A, = — i ; par conséquent

Maintenant nous devons calculer la partie entière n(ar) de la fonction

[a cot - 1 \b cot - I

nui est simplement une constante. Or on a, d'après la règle établie, p. 828,

0=('.-î/-)(*-ï>/^). H-^(„-iv'=T)(i-i^-);

donc

n(x = =ab- 7,

et nous obtenons, en conséquence, la relation

d'où cette expression sous forme finie explicite de l'intégrale du premier membre, savoir

/c<.^..(„-ieoti)(*-ic«.î)^=.<-[|^-lc„.f].

Ce résultat est le cas le plus simple du théorème suivant, auquel nous serons amenés dans la seconde partie du Cours. Soit, en désignant par n un nombre entier quelconque,

F{a:) = (X - irior + I)- ^„ [(X - O-tx -+- 1)"-],

il est aisé de voir que F(a;) est un polynôme entier en x et en a du degré n; cela étant, je représenterai par ^{x, a) ce

qu'il devient en y changeant x en xsj—i et a en a\j — i, suppression faite du facteur [\j— i )". On aura ainsi pour n = i

§{x) = 2(x — fl),

pour n = 2

or l'intégrale

366 Calcul intégral.

ou encore celle-ci, qui s'y ramène,

re(«+*)'#(cotjr, a)^{cotx, b)flx, s'exprimenl toujours sous forme finie explicite.