X-l-30 f[smx, cosx)f^{x)dx

I. Je supposerai que /(sin^, cos^) soit une fonction rationnelle de sin^ et cosor, et/,(;r) une fonction rationnelle de X sans partie entière; faisant ensuite, pour abréger,

ff{x)=f[smj:,cosj:)f^{x),

nous éviterons la considération de l'infini à priori, comme il s'offre dans l'expression proposée

a(x]dx.

en la remplaçant par celle-ci

rf{x)dx,

et cherchant sa limite lorsqu'on fait croître indéfiniment e et 73. En adoptant en outre pour ces quantités ces formes particulières

OÙ m ei n sont des nombres entiers, je me fonderai sur une transformation remarquable et importantequi a été donnée par Legendre dans les Exercices de Calcul intégral, et par Poisson dans son Mémoire sur les intégrales déjinies {Journal de l'École Polytechnique, XVIP cahier, p. 63o). Elle consiste à décomposer l'intégrale en une somme d'autres de même forme dont les limites soient des multiples consécutifs de 271, en

écrivant

— 2/«;r V — imn

-(- I <f[x)dx -+-.. .

<p(a:)r/r-+- / <f{x)dx -ajr «^0

OU bien, pour abréger,