X-H2(n4-i)îr ^ /»a(A-(-i)7t

- 2 TO TT . ^^ J ikn

Cela étant, nous ferons dans le second membre x = z-{-2kT:, ce qui donnera

J^2(A-t-i)ir /"aîT

et, par conséquent,

(ji(x)r/^ = > / (f(z-i- 2kn)clz, -imn , ^^ Jo

(f{x)clx ■= j ^[x)(ix,

ou encore

en posant

<I)(j:) = ^(jP(j: -H aA'jr).

Nous rencontrons ainsi l'expression analytique d'une fonction périodique qui a été indiquée dans l'Introduction, p. 43, et sous la condition, qu'en faisant croître indéfiniment m et « la série

*(x)^-<p(a;)-i-(p(x-f-27r)-f-,..-+-(p(x-l-2/î7r) -+- ç(j; — aïf)-;-. . .-i- <}i(x — a/W7r)

368 CALCUL miËGRAL.

soit convergente, nous aurons

Or cette transformation donne la valeur de l'intégrale définie proposée; je dis, en effet, que O(^) s'exprime par une fonction rationnelle de sin:r et cos^ lorsqu'on suppose, comme nous l'avons admis,

(p(x)^/(sina7, cosj:)/,(j;).

II. Je me servirai pour le faire voir de la formule suivante, qui sera démontrée dans le Cours de seconde année, savoir

I , X I, n X -h TV X — n

- COt - H lOS 1 : 1 r f- •

OÙ les termes non écrits contiennent en dénominateur le carré et les puissances plus élevées de m et n. Elle fait voir que la série du premier membre appartient à l'espèce des suites semi-convergentes, de sorte qu'elle ne représentera

- cot - qu'en supposant le rapport — égal à l'unité pour m et

n infinis. Mais, en général, soit 1 la limite de la constante

I tn

— log— lorsqu'on fait croître indéfiniment m et n, ce qui