Al

donnera

= - cot - -f- A ;

^U X -+- aX-TT 2 2 ^ = - m

nous remarquerons que cette quantité disparaît dans l'expression des dérivées successives du premier membre, qui sont ainsi des séries absolument convergentes, dont la formule nous donne les valeurs, à savoir

*=+«,, , , , rfcot- ^ = + «^, , ^ , ^*cot-

^ dx ~ % dx ^ ^ dx^ 2 dx^

Cela étant, il suffît d'observer qu'ayant, par la décomposition

en fraclions simples, OU plutôt

on en conclut sur-le-champ

I •^ . rfcot|(.r— z)

d"coi'j{x — 2I

Nous obtenons ainsi une fonction rationnelle de sin^ et cosr ; or, ayant <f{x)=f{sinxt cosx)fi{x), d'où

^(x) — f{smx, cosx) \^y](^-T- aX'Tr),

on voit que O(^) est aussi une expression de même nature.

J/» 27r $(^)</^,àlaquelle se trouve

ramenée la proposée, la quantité indéterminée X a pour coefficient

X2Z /(slnx, cosx)dx;

elle aura donc une valeur entièrement déterminée sous l'une ou l'autre de ces deux conditions

2A = o ou / f(sinx,cosx)dx = o.

/(sinx,

Il ne sera pas inutile, avant de faire des applications de ce résultai, de présenter sur l'intégrale indéfinie

I f{8inx,cosx)f^[x)dx !«•• Partie. ^

quelques remarques qui montreront comment elle diffère de celles que nous avons précédemment considérées.

III. Soit, en partant de la formule de décomposition en éléments simples,

/(sinj:, cosa;) = U{x)-h- 4>(^),

nous en conclurons

f [sinx, cosx)f^{x)dx ^ n{x)f^{x)dx-+- U>[x)f^{x)dx-

or la première partie

Jn[x)f^[x)dx

nous est déjà connue, et il a été établi (p. 358) qu'elle s'exprime au moyen de fonctions explicites et des transcendantes

/ COS r?ixdT /*

sinmxdx

m étant un nombre entier, et les quantités a désignant les racines du dénominateur de/,(^) égalé à zéro. A l'égard de la seconde intégrale

j <l'{x)f^{x)dx,

nous ferons, en admettant pour plus de généralité une partie entière,

et elle se trouvera décomposée en termes de ces deux formes, savoir

f{x)^(x)dx et J ^'^^ ^{x)dx.

Ces deux termes se décomposeront eux-mêmes, si l'on emploie la formule

^, , . ,, > , dcotUx — a) ^ . d^cotUx — a)

dx ' dx"

TREMIËRS PRINCIPES. 3'] l

dans les suivants :

r„, ,d''cotUx-a) , rd"'ix — a)-'d''col\{x — a),

I ¥(x) \^ ' dx, I -r— V-n -dx.

J ^ ' dx" ' J dx"' dx"

On lire enfin de l'intégration par partie, c'est-à-dire de la relation

(p. 257) une dernière réduction donnant, d'une part, des fonctions explicites de la variable et de l'autre les intégrales

/• I , .d''¥{x) , r .'/ ,d'"*"{x — <x)-' jcot-(^-«)-^^^./^, Jcot~{x-n) ^^-^^,.^-dx.

Lej éléments simples auxquels nous sommes ainsi amenés,

si l'on observe que -—r,~ est un polynôme entier dont le

degré peut être quelconque, sont donc les divers termes de ces deux séries :

lcol-{x — a)xdx, j coi- {x — ft)x^dx, j eut- {x — a)x^dx,...,

/Comx — n)dx r col\{x-~ a)dx Ç coi\(x - a)dx

dont les uns rappellent la forme analytique des intégrales elliptiques etabéliennes de première et de seconde espèce, les autres celle des fonctions de troisième espèce (p. 296). Mais on ne connaît entre eux aucune relation qui permette de les ramener les uns aux autres, et ils constituent sans doute des transcendantes distinctes. Nous voyons par là combien l'intégrale

j /{sinx, cosx)f^(x)dx

est d'une nature analytique plus complexe que toutes celles dont nous nous sommes déjà occupés; toutefois, les calculs par lesquels nous la réduisons généralement aux éléments simples définis précédemment en donneront la valeur sous forme finie explicite lorsqu'ils disparaîtront du résultat. On en lire aussi celte conclusion, que l'intégrale définie prise

entre limites — co et -i-oo dépend uniquement des quantités

X"'"* cosmjcd.T ç + ^ smmxn -00 x — x ' J^ x — a.

COt-(x — a] — ^ — -— dx,

1 ^ ' dx" '

en excluant l'intégrale 1 cot-(;c— (z)x"dx, qui est ame- «/ — 00 ^

née par la partie entière F(^) de la fonction /i(^), et dont la valeur serait infinie ou indéterminée. Or on peut leur substituer, comme nous avons vu, celles-ci :

- / cosmxcot-lx — a.)dx, - / smmxcoi -ix — x)dx,

ï r""" .ï , ,rf"C0t|(x-a) ,

- / cot-(.r — rt) V-^^ "^i

1 Jq 2 ^ ' dx"

dont voici la détermination.

IV. Nous considérerons en même temps les deux premières, et j'appliquerai, comme s'il s'agissait d'obtenir les intégrales indéfinies, la méthode générale exigeant qu'on mette sous la forme \\.{x)^^{x) les fonctions

ç.os,mxcÇ)\.-[x — «), sin/Hxcot - [x — a],

afm de donner un dernier exemple de ces transformations. Formant pour cela la combinaison

co?,inxcoi-[x — «)-f- i/ — isin/wjFCOt- [x — a].

dont la transformée en z = e's^' sera

si l'on fait a = e"^-', nous n'aurons qu'à extraire la partie entière de la fraction en écrivant

Z"' = Z'" -f- 2fl2'""' 4- 2rt'z'"^-t- . . . + 2rt"' H

Qu'on remplace raainlenani z ela par leurs valeurs, la quantité

1 a"^* par

rt" i-f- v^— icot-(x — a) ,

en égalant les parties réelles et les parties imaginaires, il viendra aisément

coswj:cot-(j: — a) = — sinmx — 2sin[(w — i)x-i-a'\

— 2sin[(/w — 2)j:-i-2flJ— ... — 2sin[j:-i-(m — i)û]

— sin/naH- co&macot-(x — «),

sin mx col -{x — a) = cosnix -h 2 cos[(/w — i) j: ■+• a]

-f-2C0s[(/n — 2)x-i-2fl]H-...-(-2C0s[j:-(-{/n — i)a]

-hcosma -h s\nmacol-{x — a).

Nous tirons de ces égalités

cos mx col - (x — a)dx ~ ~7.Tz sin ma -h cos ma j coi-{x — a)dx^

j s\nmxcot-{x — a)eix = — 2n cos ma -i- sin ma j coi-;-{x — a)dx.

Or on a établi (p. 344) qu'en supposant a = a-i- Pv/— î"»

l'intégrale

J^2ir , cot-(x — a)ctr 0 ^

a pour valeur -f- 27: ^—i ou — 27: y — ï , suivant que [3 est positif ou négatif; dans le premier cas, nous aurons donc

/ cos/nxcot-(ar — a)dx

= i-n{^sinma -+- v'^— i cos/na)= ^ir^—ie"'^,

sin/nxcot-{x — a]dx

= 27r(cos/na -h^—\sinma)= ine^^^

et dans le second

/ cosmxcot-ix — a)dx Jo '^

— 'ÀTr{— sinma — [/—i cosma) = — it: \/ — ie~""'^''\

sin7W.r cot-(a^ — a)dx 0 *

= 27r(cosma — \/—isinma)= iTze-"^^'\ Considérant ensuite l'intégrale

r^"" ,1, .d''comx—a)

nous partirons, en supposant d'abord w = o, de la formule

COt-( j: — a) cot-(x — a]t=r — i

-i-COt-(a — a) C0t-(^ — a)— COt-(.r — ût) ;

on en tirera, en désignant par («) et (a) des quantités égales à l'unité en valeur absolue, et du signe des coefficients de V— i dans a et oc,

COt - ( ^ — a) COt -[x — a)dx= —in 0 '^ *

-4-27rcot-(a — a)[[ix.) — [a)]\/—\ .

Supposant ensuite n >- o, la partie entière qui était tout à l'heure une constante n'existe plus, et la décomposition en éléments simples donne l'égalité

COt-(x — a f^ = XC0t-(x — a)-i- Acot-UC — <7)

2 ^ dx" 2 ^ ' 2 '

. dcotUx — a)

. d" cot\(x — a)