V. Pour passer des résultats que nous venons d'obtenir aux
valeurs des intégrales
/*-*-°° cosmxdx /"-+- * smmxdx J-00 ^ — « ' J oo x—a
/ cot - (^ — a ) V f^-^,
il ne nous reste plus qu'à considérer le coefficient de l'indéterminée >, afin de reconnaître si elles ont, en effet, une valeur entièrement déterminée. Or, à l'égard des deux premières, les facteurs
cos m xdx, I sinmx dx 0 i/o
étant nuls, ce coefficient s'évanouit, et nous avons par conséquent
C^"^ c,0%mxdx I /'27r ,
/ — ■—- I cosm X coi - (x ~ a)dx =*7c\/— le^^-',
J—cc ^ — a-ijQ 1^ ' " '
C^"^ énmxdx i f* . i, ,, ^.
/ = - / sinwxcot - [x— a)dx = Tce"""'-'
OU bien
r~^'^ cosmxdx , — - „„./-T
C ~'~°° %\ximxdx J—oo ^ — ^
-ma v'— 1
suivant que le coefficient de s/~ i dans a est positif ou négatif. Relativement à la troisième intégrale, la quantité
/ COt- [x — OL]dx
Jo 2
est toujours différente de zéro ; mais l'autre facteur, qui est
l'unique résidu de — , est nul pour toute valeur de n,
sauf dans le cas de n = o; l'intégrale
comx—a)dx
esl donc seule indéterminée, et l'on a généralement
j«. <^oi-{^-.)-—^^^r-^ = ^ ±ii [(a)-(«)]v/-i.
Observons enfin que les constantes a et a doivent être imaginaires pour que les quantités
-7 cot-(j: — a)
ne deviennent point infinies entre les limites des intégrations. Une exception importante est toutefois à remarquer; elle concerne l'intégrale
/*-*-«" sin/i/x ,
la fonction restant finie pour x = o. La valeur qu'on
r obtient alors, savoir
offre cette circonstance, qu'il est aisé d'expliquer, d'être indépendante de m. Effectivement, si l'on fait mx = z, m disparaît, et l'on trouve
J-OO ^ c/-(
sinz , dz.
La même substitution permet semblablement de ramener les intégrales
* s'mmxdx
où m esl non-seulement un nombre entier, mais une quantité réelle quelconque, au seul cas de m = i, car on en déduit
/-^'» cosmxdx Ç-^ -00 x — a ~J,
* coszrfz
et
/'•+-* smmxdx __ Ç
°° sinzdz
Mais, en donnant, comme nous l'avons fait, à la transformée en z les limites — 00 et ■+- 00 , nous avons supposé implicitement m positif, et dans l'hypothèse contraire les limites doivent être interverties, de sorte qu'on aura alors
smxdx
