TT

De là ce fait remarquable et important en Analyse, que l'inté-

/* ~^ ^ s î n nx X dx grale / 5 envisagée comme fonction de m, est

constante et égale à + u ou à — ;:, suivant que la variable est positive ou négative. Mais voici encore d'autres exemples de fonctions discontinues obtenues sous forme d'intégrales définies. Considérons les expressions

'sin«a:sinèx , (* €\x\.ax%\\ihx'&\VLCX

dx.

que je vais d'abord réduire par la méthode générale à des quantités explicites et aux transcendantes

/cos/nxdx rûnmxdx

Faisant, à cet effet, pour un instant

U = ûnax&\nbx, V = ûnax iinbx %mcx^ j'aurai d'abord

et les identités

aU = cos(a — 6).r — cos(a-t- 6)^,

4V = sin(a -t- 6 — c).r -I- 3in(è -t- c — a)a: -r- sin(c -^ a ~ b)x — sin(a -^ b -+- c)x

donneront immédiatement

2 — = —(a — b)sin{a — b)x-^{a-h b)s\n{a -h b)x,

4 -— z- — [a -^ b — cf 9,\n{a ■+■ b — c)x — [b -^ c — rt)' sin [b-^c—o)x — (c -t- a — i)' sin (c -r- a — i) or -H (a -f- i -+- cf ç,\r\[n -i- b -r- c) x .

Nous tirerons de là, en observant que les quantités en dehors des intégrales s'évanouissent aux limites :r — — oo,^-- + co,

^maxûnbx , a~b /*"^°° &\Xï[a — b)x ,

X~*"* sinrtxsinAj: . a~b Ç^ -00 ^" ^^^ a J-:

' ax\

or, « et 6 étant positifs, on en conclura, pour a- — 6"> o,

/■•"^* sinfl'.rsin Aa: , a—b a -\-b ,

I (IX = Tt -^ TT — ot:,

et pour a — 6 << o, *

X~^^ sinax sinbx , a — b a -^ b ■ fix = 77 H Tz — air :

de sorte que l'intégrale a pour valeur le produit par tt du plus petit des nombres a et b.

Maintenant la relation

* sinflxsiné^sincx , — ax

{a^O — cY Ç-^^ sin(^-t- b — r)x

{b -+- c — aY r~^^ 8ïn(b-h c — a)x

8 J oc ^

(c4-«-6)' /'"+■* sin (c -(-« — é)j:

8 J ao -^

{a-h b -^ cy /*"+"* sin frt-i- A -f-c)x

^jr

aura semblablement pour conséquence que l'intégrale du premier membre, sous les conditions

« + i — c>o, b-hc — a'^o, c -f a — è>o,

sera la quantité

[lab -\-'i.bc -+- %ca — à^ — P-

tandis qu'en renversant le premier, le second ou le troisième signe d'inégalité, elle aura pour valeur «ôtt, bci: ou aci:. Les hypothèses faites sont d'ailleurs, comme on sait, les seules possibles, en admettant que les constantes a, b, c soient positives.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 38l

Remarques préliminaires.

I. Les applications du Calcul intégral à la Géométrie devant conduire à employer les diverses méthodes qui viennent d'être exposées pour la recherche des intégrales indéfinies, nous allons en présenter un résumé succinct, en nous limitant à ce qu'elles offrent d'essentiel. En premier lieu, à l'égard de ces expressions

I f[x)djc, I f{s\nx,oosx)dx, / e*"/(jr)<ir^

/ e'-''f{sinx,cosx)dx,

oùf{x) désigne une fonction rationnelle de la variable, et /(sina:,cos^) une fonction rationnelle de sina; et cos^, le procédé consiste uniquement dans les transformations suivantes, appelées décomposition en éléments simples des quantités à intégrer, savoir

/(sinx, cosx) = n(x) +2 A cot^ (x- a) -^ . . . +2 a/^^^^^^^^,

^"'/(sinx, (iO&x)=(^U[x)-^^k\e'^CQi-{x — a)\-^...

d"hdtt

dlr' dli

dif y

On en lire ces développements suivant les puissances croissantes de h, qui, en n'écrivant que les puissances négatives, sont tous de même forme, et conduisent dans les divers cas au même mode de détermination des coefficients A, A,,..., A„, savoir

/[sin(« -H h), cos{a -h //)] = 2 ( A/r

e"V[sin(« + /^),cos(«+A)]=a(^A/.-'^-A/^-^... + A/^),

En second lieu, et à l'égard des différentielles algébriques, dans le cas simple d'une fonction rationnelle de la variable et de la racine carrée d'un polynôme entier, la méthode qui donne la valeur algébrique de l'intégrale, quand elle peut être obtenue sous cette forme, consiste simplement à les réduire aux expressions nommées fonctions de première, de seconde et de troisième espèce [*). Enfin, dans le cas plus général de

(*) Abel a fait voir que ces réductions pouvaient s'étendre aux intégrales de différentielles algébriques quelconques; mais, en ouvrant la voie, il n'avait encore fait que les premiers pas dans ces belles et difficiles questions. C'est Riemann qui a, le premier, donné la notion analytique complète et découvert la véritable nature des intégrales de première, de seconde et de troisième espèce, où entre la racine^ d'une équation algébrique quelconque

F(a:,jr) = o.

Renvoyant sur ce sujet aux travaux de l'illustre auteur {Théorie des fonctions abéliennes, Journal de Crelle, t. 54) et à la théorie des fonctions abéliennes de MM. Clebsch et Gordan, je ne puis omettre de mentionner au moins ce résultat, que le nombre des fonctions de première espèce est déterminé par la formule

OÙ n est le degré de l'équation F(jr, ^) = o, d le nombre des points doubles, et r le nombre des points de rebroussement de la courbe obtenue en considérant x etjr comme des coordonnées rectilignes. Ce nombre p caractérise le mode d'existence de la fonction algébrique définie par la relation Y{x, j)= 0;

l'iniégrale / /(^, j)6?jc, 011/(^,7) est une fonclion rationnelle de la variable indépendante et de la racine d'une équation algébrique de degré quelconque F(ar, j) = o, nous avons obtenu, lorsque la courbe représentée par celte équation est unicursale, le changement de variables qui le ramène à l'intégrale d'une simple fonction rationnelle. La méthode exige alors qu'on détermine le système complet des points doubles, et, par conséquent, des valeurs de ^ et j satisfaisant aux conditions

voici en quelques mots, avant d'en présenter des applications, un résultat important, que donne sur ce sujet la théorie des polaires réciproques.

II. La polaire de la courbe F{x,x)'~o par rapport au cercle imaginaire a:' + /*-<- 1=0 étant considérée comme l'enveloppe des positions de la droite ^X+jY + i = o, si nous supposons 7 déterminé en fonction de x par la condition F(^, j)=o, on formera son équation comme il suit, d'après la méthode donnée p. 191. Différentiant par rapport au paramètre variable, il viendra

en supposant, par exemple, p = o, on peut exprimer j: et^ par une variable auxiliaire 9 (Clebsch et Gordan, Théorie der Abehchen Functionen; Die eindentigen Transformationeriy p. 67) et ramener par conséquent l'intégrale

f{x,j)da:

à celle d'une fonction rationnelle en 0. A ce cas appartiennent donc les équations représentant des courLes unicursales, et dont nous nous sommes occupé en nous plaçant au point de vue de l'intégration par substitution. En supposant ensuite p=^\, les variables peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles de 0 et d'un radical carré portant sur un polynôme du 3* ou du /|* degré, etc. On voit ainsi dans les parties élevées du Calcul intégral toute l'importance de la considération des points doubles, et comment elle devient l'un de ces liens que la science de notre époque, et surtout les beaux travaux de M. Clebsch, ont révélés entre la Géométrie supérieure et l'Analyse.

dy et, en remplaçant -~ par sa valeur,

dy dx

Ainsi nous aurons à éliminer x e\ y entre les trois relations

xX^^Ï + , = o, fx-fY = o, F(..r)=o.

Soit donc xz=a,y'=^b une solution quelconque des deux dernières, le résultat s'obtiendra en égalant à zéro le produit de tous les facteurs «X + 6Y + i, que je désignerai par P. Cela posé, j'observe que ces quantités a ei b contiendront en général X et Y; mais s'il arrive qu'elles en soient indépendantes, nous sommes assurés que le facteur linéaire aX + 6Y +1 entrera dans P. Or on obtient, en égalant à zéro les coefficients de X et de Y dans la seconde équation,

^F dF

cette circonstance se présentera donc et se présentera seulement lorsque la courbe F(^, j)=o aura des points doubles. On voit, de plus, que le déterminant fonctionnel relatif aux équations proposées, savoir

^ £f'Hx — ~Y\-— — f— X-— Y dx dj\dj dx ) dy dx \dy dx

s'évanouit si elles sont satisfaites. Par conséquent, tout point double xr=ia, y^=h est, pour ces équations, une solution double ; le facteur linéaire qui en résulte aX + /> Y -f i entre donc au carré dans P, et l'on aura P=±n^O, Il désignant le produit d'autant de facteurs linéaires qu'il y a de tels points (*). Je ne m'arrêterai pas à faire voir comment, ayant obtenu la quantité P, on peut en déduire les polynômes II et $ ; je remarquerai seulement que l'ordre de la polaire d'une

(*) Voir sur cette question dans l'Ouvrage de M. Salmon, A treatise on the Higer Plane Curves, la Section IV, General theory of multiple points and tangents.

courbe d'ordre n étant n(rt — i ), on a, en désignant par rf et ô les degrés de n et $, la relation

arf-+- 5= n[n — i).

De là se tire en effet une détermination nouvelle et facile du nombre des points doubles d'une courbe unicursale déjà obtenue p. 249» 6t qu'à cause de son importance pour notre objet j'indiquerai succinctement. Reprenant le calcul de l'enveloppe des positions de la droite variable a;X -4-7 Y -h i = o dans l'hypothèse où la courbe F{a7, 7') = o est unicursale, j'exprime x et / en fonction rationnelle d'un paramètre par les formules

- £ - ^ •'- yv' '^~ w'

U, V et W étant des polynômes du n'*"^ degré en 0. L'équation de la droite devient ainsi

UX-(-Vy-H W = o,

et sa dérivée par rapport à 0 donne

Or on en lire ces expressions, dont nous ferons usage plus

lard,

VW'-WV WU'-UW\

^- UV— VU' ' UV'-VU' '

elles montrent que la polaire est elle-même unicursale, et comme les polynômes

UV— VU', VW-WV, WU'-UW

sont du degré 2( n — i ), elle est d'ordre 2 (n — i ). Faisant donc d = 2( n — i), dans la relation

arf-+- à = ii[n — 0,

on en conclul

V Partie. «5

Fig. 3i.

III. Nous savons qu'à l'égard d'une courbe quelconque rapportée à des coordonnées rectangulaires y'z=f{x) [fig. 3i), l'intégralo

f{x)dx représente le segment

PQRS compris entre l'arc PQ, l'axe Ox et les ordonnées PR, QS qui corres- "^ pondent aux abscisses x,, et x^. Nous avons vu aussi qu'en faisant .r = 9 (0), yzzz'i^{Q), la même quantité est donnée par l'intégrale

1 ^{9)c^'{9)d0, sous la condition qu'en faisant croître 9 de

a à j3 les expressions de .r et j donneront tous les points de l'arc PQ. Je considérerai maintenant, en conservant la même variable auxiliaire, une courbe fermée [Jig.Zi) qui soit décrite en entier, et une seule fois, à partir du point M, dans le sens MNP, 9 croissant encore de a à (3; supposant en outre qu'elle ne se coupe point, et qu'à une même abscisse correspondent seulement deux ordonnées, je vais établir que l'aire comprise dans l'intérieur de

la courbe est représentée par l'intégrale / ']i{9)(s^'{9)dQ,

changée de signe.

Soient N et P les points limites dont les ordonnées NR et PS sont des tangentes; considérons successivement les arcs MN, NP, PM, et supposons que le premier soit décrit en faisant croître 0 de a à 0o> le second de 0» à 0,, et le troisième de 0, à [3. Les segments MNQR, PNSR, PMSQ sont donnés, comme on vient de le dire, par les intégrales

Fig.

Jk Jo, Jo,

et ron aura, par conséquent,

PMSQ -f- MNQR - PNSR =- r |{ô)?'{e)^/ô-+- T ' ^{B)tf'(Q)dO

Or le premier membre de celte égalité est, sauf le signe, l'aire de la courbe; et, si nous intervertissons les limites pour remplacer dans le second l'intégrale

— r '^{9)?'(®)^^ par -+- f '^(Q)tf'[Q)d9,

on pourra l'écrire ainsi :

Jk Joo 'Jo^

c'est-à-dire simplement

comme nous voulions l'établir.

Considérons maintenant le cas général où les relations X = 9(0), y=vp(0) donnent, en faisant croître 0 de a à (3, une courbe pouvant se couper elle-même un nombre quelconque de fois, et qui, en supposant uniformes les fonctions cp(0) et 'i^{Q), soit décrite à partir d'un point donné et en revenant à ce même point, d'une manière entièrement déter-

ée. La signification de l'intégrale/ 4'(^)?'(^)^^ ^s*-

alors l'objet du théorème suivant, dont l'énoncé m'a été communiqué par M. Bonnet, qui l'a tiré de plusieurs passages des OEuvres de Gauss.

IV. Soit, pour fixer les idées, la courbe représentée par la Jig. 33, où l'on voit trois points doubles et quatre aires limi-

minee.

lées différentes, désignées par A, B, C, D; l'intégrale définie Pi 33 proposée sera une combinaison

linéaire de ces aires partielles multipliées respectivement par des coefficients entiers qui résultent de la loi suivante.

Concevons un point mobile

— ^ — ^ décrivant en entier la courbe,

et considérons-le dans une position quelconque, par exemple en n, sur une des limites de séparation des deux aires contiguës B et C. Le sens du mouvement étant connu, on donnera à l'aire de droite un coefficient plus élevé d'une unité qu'à l'aire de gauche; si, en outre, on convient d'attribuer le coefficient zéro à l'espace infini qui est en dehors de la courbe, ils se trouveront tous, comme on va voir, déterminés de proche en proche. Effectivement, soit m le point de départ, et supposons l'espace infini à droite de la direction du mouvement, le coefficient de A s'obtient immédiatement et a pour valeur — i ; mais ceux des aires B et D qui s'offrent ensuite restent inconnus, et il faut arriver à la portion C contiguë à l'espace extérieur pour obtenir une nouvelle détermination, à savoir — i. Parvenu ensuite sur la limite de séparation de A et B, la loi posée assigne le coefficient — 2 à l'aire B, placée à gauche de l'aire A, qui a déjà le facteur — i. Après on trouve le coefficient — i pour l'aire D, de sorte que la combinaison représentant l'intégrale définie est — A — 2B — C — D; et si nous continuons de décrire la

courbe jusqu'à revenir au point de départ, nous ne ferons qu'obtenir des vérifications des valeurs déjà calculées.

Pour donner un second exemple, considérons cette - autre courbe (^g". 34), où se trouvent six portions limitées A, B, C, D, E, F, et supposons que, à l'origine en m, l'es-

Fig. 34.

pace inlini soit à gauche de la direction assignée au point décrivant. La combinaison résultant de la loi des coefficients des

aires est

et l'on observera que l'aire D n'y figure pas, son coefficient

étant égal à zéro. Enfin, et en dernier lieu, je remarquerai

cette conséquence relative aux courbes fermées n'ayant pas

de points doubles, mais pouvant être coupées par une droite

en un nombre de points quelconque, c'est que leur aire est

r^ représentée au signe près par l'intégrale / <i^{Q)<!^\B)dB, re-

sultat qui, précédemment, n'a été démontré que dans le cas

particulier où deux ordonnées seulement correspondent à la

même abscisse.

anADRÂTURE DES COURBES PLANES.

Courbes du second degré; cycloïde.