L'équation de l'ellipse étant
l'aire d'un segment compris entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses Xa, x aura pour expression
A=- / \/a^ — x'dx\
mais je remarquerai, avant d'effectuer le calcul, qu'en posant pour un instant
\la' — xUlx^
il vient
SgO CALCUL INTÉGRAL.
Or A' est précisément la valeur de A lorsqu'on suppose b = a : c'est donc l'aire du segment de cercle
circonscrit à l'ellipse et compris entre les ordonnées qui correspondent aux mêmes abscisses Xo et x. Appliquons maintenant à A' les méthodes relatives à l'intégration des radicaux du second degré en écrivant
nous réduirons l'intégrale
r x'^dx J slœ—x'
qui donne
•» en partant de l'identité
dx = dx.
et par conséquent
/x'^dx C'^ r ' y/a' — X' ^ J \fc?
On en conclut
^ r dx r x^dx
a^ I '-ZZ — 2 / —r 1
J \Jà^ — x'^ J \/à^ — x'^
dx
— \x \Ja^ — X-.
n? r dx I ,— J
A — — / -\ — X sja' — a- ,
or on a
rdx / '\a)
arc sin - ?
et, si l'on suppose pour plus de simplicité x<, = o, il viendra
A' = ~ arc sin - H — x J a'- — x"^.
sans ajouter de constante, puisque les deux membres s'évanouissent pour x^^o.
Le tertn^ algébrique de celte formule,
est l'aire du triangle OMP ou 0P = a7, MP — \/a'— x\ et par
conséquent le terme transcendant — arcsin - donne l'aire du ^ 1 a
secteur circulaire AOM [fig- 35). La quantité arc sln — provenant de l'intégrale
JCx dx 0 V^
est, comme on l'a vu (p. 3o3), le plus petit arc ayant - pour sinus; elle est
donc pour x= a égale a -; par suite le secteur correspondant, c'esl-à-dire le quart du cercle, a pour valeur j T.a\
On parvient d'une autre manière à la quadrature de l'ellipse, en représentant ses coordonnées par les formules
j;--acos^, j = èsincp,
et faisant croître 9 de zéro à 27:. L'espace illimité se trouvera ainsi à droite de la direction du point décrivant la courbe ; par
conséquent l'intégrale / fdx prise par rapport à 9 entre les
limites zéro et iv: sera l'aire changée de signe. Elle a effecti-
cos'9C?cp; or l'équation
COS'ç
1 COS'ip
donne immédiatement
COS'çr/tp = TT,
d'où, pour l'aire de l'ellipse, la formule
Soit en second lieu l'hyperbole
nous aurons
a^dx = -A',
en appelant encore A' le segment relatif à l'hyperbole équilalère où 6 = a, savoir
A'— j ^x^ — a'dx.
Opérant comme tout à l'heure, en écrivant
I^^-"'"^=Iw^,~''i\
je ferai usage de la relation
J^ x^dx câ r dx I ,—, -, ~ — / + -X \Jx^ —■ a',
ce qui donnera
par la formule générale
r--==£=.=.^ = — log {kx-r-B-^ s/ A ^Ax'-i-iB^^TC.). J yAx-h iBx -h L yA
On en conclut immédiatement
J yx^ — a^
et si l'on dispose de la constante arbitraire de sorte que l'intégrale soit prise depuis ^ = a, on trouvera
dx , X -f- \/x'^ — à' , ,- -^ log
11 vient donc pour l'aire de l'hyperbole
l> I,, ab X -h \/x'^ — (i^ b
A = - A' — ^ log 1 X x/x'-'— «-'-T- C.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. SgS
Supposons celle aire compiée à pariirdu sommei; on devra avoir A = o pour x = a; il en résulle C = o, et par suite
AMP^-^log^
H X y/jc' — a*.
a ia
Ici, comme pour le cercle, la figure donnera la signification pj 3g de la partie transcendante (^g-. 36);
ayant en effet
1 '' in ^
on obtiendra pour le secteur AOM la valeur
\Jx'
AOM = OMP - AMP - — log -
Remarquons enfin que, l'équation de l'hyperbole
Fig. 37.
devenant celle de l'ellipse lorsqu'on change b en •. et le ra-
dical sjx'—a} en \j—\ \Ja'—x^, on obtiendra l'aire de l'ellipse en effectuant le même changement dans celle de l'hyperbole. Celte correspondance analytique se retrouve en Géométrie à l'égard du cercle et de l'hyperbole équilaière.
Considérons dans cette dernière courbe rapportée à son centre et à ses axes les secteurs OMP, OM'P {Jig. 37), et désignons par N le milieu de la corde MM'. Une parallèle à la direction ON, menée par le sommet de gauche P', rencontrera l'hyperbole en un point M" tel que les deux secteurs OM'M" et OMP soient égaux en surface, ce qui donnera la relation
OM'P = OMP -t- OM'P ;
or, en faisant la même construction dans le cercle rapporté à son centre, c'est-à-dire en menant par l'extrémité P' du Fig- 38. diamètre une parallèle P'M" à la di-
rection ON perpendiculaire sur le milieu d'une corde quelconque MM' [Jig. 38), on reconnaît immédiatement l'égalité des arcs MF, M' M", et par conséquent des secteurs auxquels ils servent de mesure.
II. Je donnerai un exemple de l'emploi des coordonnées polaires pour la détermination des quadratures, en considérant les courbes du second degré rapportées à leur centre, et ayant pour équation
Aj*-f- aB.rj h- Cj:^— i.
Faisant en effet
d'où
X = p cosw, jr = p sinw,
" Asin^M -(- aBsinwcosw -H Csin'^w '
on aura à intégrer
fiw
'w -H 2Bsin&)Cosw-f- Csin^w Posons, pour décomposer en éléments simples,
Asin^w -I- aBsinwcosw -i- Ccos'w = Nsin(w — x)sin(w — p), on aura les conditions suivantes :
A = Ncosacosp, 2B= — N(sinacosp -+-sinpcosa), C = Nsinasinp,
qui donnent aisément
4(B'-AC) = N^sin^(a- p),
et nous observerons que tanga et tang[3 sont les racines de l'équation du second degré
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 3g5
Cela posé, on a immédiatement
Asin'w-t-aBsinwcosw-t-Ccos^w Nsin(a — p) d'où
[cot(w —a) — cot{w —p)],
flw I , 8in(w — a)
log
Asin'w -H aBsino) cosw -i- Céos^w Nsin(a~f5) ^sin^w — p)
Considérons en particulier le cas de l'ellipse où B*— AC est négatif, de sorte que langa, tang^ et, par conséquent, a et ^ sont imaginaires conjuguées. Soit donc
b étant supposé positif; nous déterminerons le signe du facteur constant Nsin( a — (3) en remarquant d'abord que le sinus sera le produit de y^— i par une quantité du signe de b, et par conséquent positive, puisque N, d'après la relation
A = Ncosacosp, sera du signe de A et positif. On a donc
Nsin(x- P) = 2v/AC -B^Z-i,
en prenant la racine carrée en valeur absolue. L'intégrale définie
tlw
A8in*6> H- aBsinwcosw -t- Ccos'w
qui donne l'aire totale de l'ellipse, peut se réduire aux limites zéro et tt, par celte décomposition
^'^ fh^
Asin^w -t- aBsinwcos(*> -t-Ccos^w
Asin'o) H- aBsinwcosu -+-Ccos''w
=*" fltù
Asin'w -f- aBsintocosw -+- Ccos'w
SgÔ CALCUL INTÉGRAL.
en posant, en effet,
